EDO1 06

1 - Equações Diferenciais Ordinárias
Equações contendo derivadas são equações diferenciais.
Portanto, para compreender e investigar problemas envolvendo o movimento de fluidos, o fluxo de corrente elétrica em circuitos, a dissipação de calor em objetos sólidos, a propagação e detecção de ondas sísmica, o aumento ou diminuição de populações, entre muitos outros, é necessário saber alguma coisa sobre equações diferenciais.
Vale lembrar que todo a parte do cálculo chamado de cálculo de primitivas é nada mais nada menos que a determinação de soluções de uma equação diferencial.

Como Resolver
Ordinária (EDO)

uma

Equação

Diferencial

Na solução de uma EDO dois caminhos podem ser seguidos. Isto é, o que tenta levar à solução exata do problema (método analítico) ou o que encontra uma solução aproximada (método numérico).
Do ponto de vista analítico, resolver uma EDO do tipo y’ = f ( x, y ) é encontrar uma função y = F ( x ) que satisfaça a equação dada. Por exemplo, dada a equação diferencial y’ = f ( x, y ) = 2 x + 3, sua solução é obtida por

y=



( 2x + 3) dx = x 2 + 3x + C .

Na verdade, temos uma família de soluções (para cada C  R tem-se uma solução particular). Na Figura 1 são mostradas algumas destas soluções. No caso para C = 0, C = 2 e C = 4.

y

C=4

C=2

C=0

x

Representações de soluções particulares, para alguns valores de
C, da função
2

y= x + 3 x + C.
Figura 1

Para determinarmos uma solução específica é necessária a atribuição do valor de y em um dado x. Em outras palavras, deve ser dado um ponto ( x = a , y = s ) por onde a solução particular deve obrigatoriamente passar.
O processo para encontrar esta solução específica y da equação y’ = f ( x, y ) com y ( a ) = s, onde a e s são dados numéricos, é chamado de problema de condição inicial.
Assim, podemos particularizar a solução do problema anterior atribuindo-lhe, por exemplo, a seguinte condição:

 dy
2 x  3

dx

 y ( 0 ) 0
2

Logo, a solução geral é dada por y = x + 3 + C, e a