Analise I3

6.2.5 - Métodos específicos para matrizes de coeficientes do tipo banda:

Dado o seguinte sistema de equações:

(3)

Nota-se que a estrutura da matriz de coeficientes é do tipo Matriz Banda Tridiagonal, onde existem apenas três diagonais não totalmente nulas, uma diagonal principal ri e duas diagonais paralelas ti e di, os demais coeficientes são todos nulos. Este sistema de equações pode ser resolvido por um método direto, como Gauss por exemplo, o qual promove as devidas eliminações tornando a matriz de coeficientes uma matriz do tipo triangular superior. Neste procedimento, o método de Gauss opera as devidas eliminações inclusive nas posições dos elementos nulos, que não necessitam ser manipulados. No caso de matrizes de grande porte teríamos um custo excessivo com operações desnecessárias. Então, para sistemas com matrizes de coeficientes do tipo banda é possível adaptar os métodos diretos tradicionais, de modo que os valores nulos não sejam manipulados desnecessariamente. Assim, pode-se implementar um método de eliminação envolvendo apenas os elementos não nulos, conforme a sequência a seguir, baseada no método de Gauss:

onde e Generalizando para uma linha i qualquer, tem-se:

(4)

onde e

Assim, chega-se a um algoritmo simples para efetuar a triangularização da matriz de coeficientes: Genericamente, para i = 2,3,...,n tem-se

com e . Como a solução de (3) é a mesma de (4), então por retrosubstituição sucessiva obtem-se:

Para i = n-1,n-2,...,2,1 tem-se

Assim, a solução do sistema de equações é obtida com o mínimo de operações possíveis, manipulando apenas os elementos não nulos. Nestes casos o pivotamento de linhas ou colunas não deve ser aplicado, pois isto alteraria a estrutura em forma de banda da matriz.

Ex. 6: Resolva o seguinte sistema de equações de forma otimizada:

Solução:

(i). Triangularização baseada no pivô k = 1:

(ii). Triangularização baseada no