equaçoes diferenciais

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL FACULDADE DE MATEMÁTICA - DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

4113E-04 Equações Diferenciais
4113U-04 Equações Diferenciais para Engenharia Química
Equações Diferenciais Exatas

Introdução: Resolva a equação diferencial . Note que essa equação não é homogênea nem separável, logo os métodos apropriados para esses tipos de equação não são aplicáveis. No entanto, observe que existe a função com a propriedade e . Podemos escrever a equação diferencial como , isto é . Portanto sua solução é .

Definição: Uma equação diferencial da forma é chamada exata se a expressão do lado esquerdo é uma diferencial exata. Ou seja, existe uma função U(x, y) tal que a diferencial total de U(x, y) é . Nesse caso, a solução da equação é U(x, y) = C.

Exemplo: Mostre que a equação diferencial é exata.

O teorema a seguir fornece um método sistemático de determinar se uma equação diferencial dada é exata.

Teorema: Sejam M(x, y) e N(x, y) funções contínuas com derivadas parciais contínuas numa região retangular do plano xy. Então, uma condição necessária e suficiente para que seja uma equação diferencial exata é .

Exemplo 1: Resolva a equação diferencial

Exemplo 2: Resolva a equação diferencial .

Fatores Integrantes: Algumas vezes é possível transformar uma equação diferencial que não é exata em uma equação exata multiplicando-se a equação por um fator integrante apropriado. Para investigar a possibilidade de implementar essa idéia, vamos multiplicar a equação por uma função e depois tentar escolher de modo que a equação resultante seja exata.

Vamos determinar condições sobre M e N para que a equação tenha um fator integrante dependendo apenas de x. Suponha que é uma função só de x, temos . Assim para que é necessário que . Se depende apenas de x, então existe um fator integrante que depende, também, só de x ; além disso pode ser encontrada resolvendo-se a equação diferencial separável .