Equaçoes diferenciais

Ministério da Educação
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Campus Curitiba
Gerência de Ensino e Pesquisa
Departamento Acadêmico de Matemática

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
NOTAS DE AULA

Profa Paula Francis Benevides

Profa Paula Francis Benevides

Equações Diferenciais

AULA 01
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
1 – INTRODUÇÃO:

Antes de mais nada, vamos recordar a diferença entre a derivada e a diferencial, pois, embora a derivada e a diferencial possuam as mesmas regras operacionais, esses dois operadores têm significados bastante diferentes. As diferenças mais marcantes são:
a)
a derivada tem significado físico e pode gerar novas grandezas físicas, como por exemplo a velocidade e a aceleração; a diferencial é um operador com propriedades puramente matemáticas;
b)
a derivada transforma uma função em outra, mantendo uma correspondência entre os pontos das duas funções (por exemplo, transforma uma função do segundo grau em uma função do primeiro grau); a diferencial é uma variação infinitesimal de uma grandeza;
c)
a derivada é uma operação entre duas grandezas; a diferencial é uma operação que envolve uma grandeza;
d)
o resultado de uma derivada não contém o infinitésimo em sua estrutura; conseqüentemente, não existe a integral de uma derivada; a integral só pode ser aplicada a um termo que contenha um diferencial (infinitésimo);
e)
Se for feito o quociente entre os dois diferenciais, tem-se:

em total semelhança com a definição de derivada. A conseqüência direta desse fato é que a derivada não é o quociente entre duas diferenciais, mas comporta-se como se fosse esse quociente. Isto significa que a partir da relação:

é possível escrever:

dy = f(x).dx que se denomina equação diferencial.
f)
uma das aplicações mais importantes envolvendo derivadas e diferenciais é a obtenção da equação diferencial, etapa fundamental para a introdução do Cálculo
Integral.

1.1 - Definição: Equação diferencial é uma equação que relaciona