Cônicas

CEFET/RJ – Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca

Cônicas

Aluno: Osvaldo Luiz de Moura Filho
Professora: Hellen
Data: 19/11/2013
Local: CEFET-RJ - UnED Angra dos Reis

Índice

1 – Elipse

Figura 1.1 – Elipse:
1.1 - Definição Elipse é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos e do mesmo plano é uma constante . Os pontos e são denominados focos e e são vértices da elipse (Figura 1.2). Além disso, é chamado eixo maior ou eixo focal, e os pontos da elipse que estão na perpendicular a este eixo ( e ), passando pelo centro O, são denominados pólos da elipse. Assim, será o eixo menor ou eixo não focal da elipse.

Figura 1.2 – Elipse A distância focal d() = 2c, assim como d() = 2b e d() = 2a. Como o pólo pertence à elipse, tem-se que

Mas o triângulo e são congruentes, então
Logo,

,

Então tem-se que:

Portanto, na elipse tem-se o triângulo retângulo , cujos catetos são b e c, e a hipotenusa é a. O mesmo vale para o outro pólo

Deste modo, na elipse vale a seguinte propriedade:

.

1.2 - Equação da elipse em coordenadas cartesianas

Seja P um ponto da elipse de diâmetro 2a e 2b com o centro na origem de um sistema de coordenadas cartesianas (Figura 1.3). Por definição, se P pertence à elipse então:

Mas as distâncias entre P e os focos e são:

e .

Substituindo, obtém-se:

,

ou seja,

.

Figura 1.3 – Elipse

Elevando-se ambos os membros ao quadrado, tem-se:

.

Simplificando-se a última igualdade, tem-se:

.

Elevando-se ao quadrado ambos os membros, tem-se:

.

Simplificando-se, obtém-se:

Como na elipse vale a relação , pode-se substituir ( por :

.

Dividindo ambos os membros por , obtém-se:

, onde .

Que é a equação da elipse de diâmetros a e