Cônicas

1. INTRODUÇÃO
No estudo da geometria das secções cônicas, o cone é considerado como tendo duas folhas, estendendo-se indefinidamente em ambas as direções. Uma geratriz do cone é uma reta que está sobre o cone, todas as geratrizes de um cone contém um ponto V, chamado vértice, é neste ponto em que as linhas se encontram. (LEITHOLDE, 1994).
As secções cônicas podem ser definidas e geradas de várias maneiras, sendo elas matematicamente equivalentes (SATO, 2004). Algumas aplicações práticas podem ser atribuídas graças ao estudo das cônicas, um deles foi Kepler, que teve seu interesse devido as suas aplicações à óptica e à construção de espelhos parabólicos. Outro marco importante são os estudos de Galileu onde “desprezando a resistência do ar, a trajetória de um projétil é uma parábola”. Além de outras importantes aplicações que ajudaram no desenvolvimento da física e matemática.
2. PARÁBOLA
Uma parábola é o conjunto de pontos em um plano, eqüidistante de um ponto e de uma reta fixos. O ponto fixo é chamado de foco e a reta fica é chamada de diretriz.
Agora vamos deduzir a equação da parábola. Para que esta equação seja a mais simples, vamos escolher o eixo x perpendicular à diretriz, contendo o foco. A origem será tomada sobre o eixo x e no ponto médio, entre a diretriz e o foco.
Seja p a distância orientada OF. O foco será o ponto F(p,0), e a diretriz será a reta de equação x = - p. Um ponto P(x,y) estará na parábola se e somente se P for eqüidistante de F e da diretriz. Isto é, se Q(-p,y) for o pé da perpendicular à diretriz passando por P, então P estará na parábola se e somente se │FP│ = │QP│
Como
│FP│ = e │QP│ =
P está sobre a parábola se e somente se =
Elevando ao quadrado ambos os membros obtemos

Logo, a equação da parábola com o foco em (p,0), tendo como diretriz a reta x = - p é y2 = 4px