Cálculo - Derivadas

CENTRO UNIVERSITÁRIO FEEV ALE - ICET
CÁLCULO I

Derivadas
1- Introdução
Muitos fenômenos físicos envolvem grandezas que variam (a velocidade, a inflação da moeda, o número de bactérias em uma cultura, a intensidade de terremotos, a voltagem de um sistema elétrico, e assim por diante). A derivada é uma ferramenta matemática usada para estudar taxas nas guais variam as grandezas físicas. Veremos agora, a estreita relação que existe entre taxas de variação e retas tangentes a gráficos.
2- A Reta Tangente

í

Muitos dos problemas importantes do Cálculo envolvem a determinação da reta tangente a uma curva dada, em um determinado ponto dela. O problema de encontrar a reta tangente em um ponto P(Xl,Yl) da curva consiste, basicamente, na determinação da inclinação da reta procurada .
"",,,-rc.,,,-,,f,,- ~ ,)o...'de,

•••• \.\
0

c,

Sejay = f(x) uma curva definida no intervalo (a,b).
Sejam P(Xl, Yl) e Q(X2, Y2) dois pontos distintos desta curva e s a reta secante que passa por estes pontos.
Considerando o triângulo retângulo formado por PMQ mostrado na figura abaixo, temos que a inclinação da reta s (ou o coeficiente angular da reta s) é dada por:

tg a =

msec=

~

Y2 - YI x2 - XI

.1.y

= .1.x

(1)

Obs.l: A velocidade média durante um intervalo de tempo, denotada por v = m di-do ti - to

=

f(tl)-f(to) ti -

Y

Q(X2, Y2)

P(xJ,

~I_I

é

que é exatamente a inclinação da reta secante.

to

\

(1m,

J

õy

'---y----J

.1.x
X

14

.

<

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CÁLCULO I

Suponhamos que mantendo P fixo, Q se mova sobre a curva em direção a P. À medida que Q se aproxima de P, a inclinação da reta secante s varia cada vez menos, tendendo para um valor limite constante. Este valor limite dos dá a inclinação da reta tangente à curva no ponto P, que é dada por:

quando o limite existir.
.
Fazendo X2 = XI +fu: podemos reescrever (2) na forma:

(3)

Assim, tendo