Calculo II Derivadas

Universidade Nove de Julho – Uninove
2º semestre de 2013 – Curso: Engenharia
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral I - Profº: Edson A. Cardoso
Anotações de Aula – Derivadas
1. Bibliografia

1. Cálculo A e B. Flemming, D.M. Editora Person Education do Brasil, 2007.
2. Cálculo Vol. 1 e Vol. 2. Stewart, James. São Paulo. Editora Thomson Learning, 2009 .
3. Software livre: Winplot

4. DERIVADAS
4.1. INTRODUÇÃO AO CONCEITO DE DERIVADAS
Exemplo 1:
Suponhamos que a temperatura de uma sala obedeça a seguinte função: f (x) = x2, sendo a temperatura medida em graus celsius (ºC) e o tempo em horas (h).

Começamos a observar a temperatura a partir do instante x0 = 1 h. A temperatura, então, será f (1) = 12 = 1º C. Quando x = 3 h, p.e., a temperatura será f (3) = 32 = 9 ºC. Temos então que: a partir de x0 = 1 h, a variável x aumentou de DUAS unidades (horas) e passou para x = 3 h.
Esta variação de x é indicada por x, i.e.:
x = x – x0 = 3 – 1 = 2 por sua vez, a temperatura y = f (x) também sofreu uma variação: passou de f (x0) = f (1) = 1ºC para f (x) = f (3) = 9ºC, ou seja, aumentou de OITO unidades. calculando a razão y/x, temos:

esta razão, exprime a variação de y por unidade de variação de x, em média, no intervalo x. Assim, no nosso exemplo, , significa que entre 1h e 3h, a temperatura aumentou de 4ºC por hora, em média.
Suponhamos agora, que tenhamos a necessidade de conhecer a variação da temperatura num instante bem próximo de x0 = 1h, que é o que chamamos de variação instantânea da temperatura.
Vamos calcular os valores da variação para intervalos cada vez mais próximos de 1h. Com isto, nosso valor de x será cada vez menor e tenderá a zero.

i

xi (h)

x (h)

(ºC)

y (ºC)

(ºC/h)

1

1h30 =
1,5

1,5 – 1 = 0,5

2,25 –1 = 1,25

2

1 h e 12 min = 1,2

1,2 – 1 = 0,2

1,44 –1=
0,44

3

1 h e 6 min = 1,1

1,1 – 1 =
0,1

1,21 –1= 0,21

4

1 h e 1 seg = 1,0002777

1,0002777 –1 =