Lista de exercícios derivada Cálculo II

DERIVADA DE UMA FUNÇÃO
O desenvolvimento dos estudos matemáticos acompanhou a necessidade do homem de conhecer melhor o universo físico que o cerca. Particularmente, o Cálculo teve sua aplicação estendida aos fenômenos físicos mensuráveis como, por exemplo, eletricidade, ondas de rádio, som, luz, calor e gravitação. A derivada é parte fundamental do Cálculo. A partir de agora faremos um estudo sobre esse assunto.
O conceito de derivada foi introduzido no século XVII quase simultaneamente pelo alemão Gottfried
Wilhelm Leibniz (1646-1716) e Sir Isaac Newton (1642-1727), trabalhando separadamente.
DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EM UM PONTO
Consideremos uma função f contínua e definida num intervalo ]a, b[; sejam xo e xo + ∆x dois pontos desse intervalo. Quando a variável x passa do valor xo para o valor xo + ∆x sofrendo uma variação ∆x
(incremento de x), o correspondente valor da função passa de f(xo) para o valor f(xo + ∆x) sofrendo, portanto, uma variação ∆y (incremento da função f), onde
∆y = f(xo + ∆x) – f(xo) conforme mostra a figura seguinte:

Dizemos que a derivada da função f no ponto xo é

f ( x o + ∆x ) − f ( x o )
∆y
lim
=
lim
∆x→ xo
∆x → o ∆x
∆x

se ele existir e for finito.

Nesse caso, dizemos também que f é derivável no ponto xo.

NOTAÇÕES DA DERIVADA
A derivada de f será indicada por uma das quatro formas abaixo:

f ’(x) df dx d y d x

y’
EXEMPLOS
1) Calcular a derivada da função f(x) = x² no ponto xo = 2.
Solução

Calculando f(x0) e f(x0 + ∆x) , temos : f(x0) = x0² ⇒ f(2) = 2² = 4 f(x0 + ∆x) = (2 + ∆x)2 = 22 + 2 ⋅ 2 ⋅ ∆x + (∆x)2 = 4 + 4∆ x + (∆x)2
Substituindo na definição de derivada: f ' (x o ) = lim
∆x →0
= lim
∆x →0

f(x0 + ∆x) − f(x0)
[4 + 4∆ x + ( ∆x)2 ] − (4)
= lim
=
∆x
∆x
∆x →0

4 + 4∆ x + (∆x)2 − 4
4∆ x + (∆x)2
∆ x ⋅ (4 + ∆x)
= lim
= lim
=
∆x
∆x
∆x
∆x →0
∆x →0

= lim (4 + ∆x) = 4
∆x →0
P o r t a n t o:

f '( 2 )

=
4

2) Determinar a derivada da função f(x) = 4x2 + 1,