Cálculo derivada

Segunda Tarefa de Matemática - MAT020 Primeiro semestre de 2013

Metodologia de resolução da tarefa proposta   Cada questão será resolvida item por item; Tendo em vista a extensão das questões e a desnecessidade de transcrição integral das mesmas, serão indicados os comando imediatos a fim de organizar e sistematizar o exercício proposto; Desenhos apresentados pretendem apenas ilustrar os dados propostos e elucidar o raciocínio; O desenvolvimento lógico será descrito por extenso, sendo indicadas as fórmulas e equações provenientes ou necessárias ao raciocínio; As resoluções que dependerem de resultado anterior serão aproveitadas, havendo sempre menção ao dado utilizado; A resolução algébrica parcial será demonstrada caso seja imprescindível à compreensão da questão.

   

Questão um Tendo determinado o preço “p” de cada sistema de financiamento, o objetivo dessa questão é comparar as duas funções (“p” do SAC e “p” do sistema Price) para saber qual o sistema mais vantajoso

a)

Seja ( )

(

)

definida para todo x≥0 , em que a é uma

constante maior do que 1, isto é, a > 1. Esboce o gráfico desta função. Calcule os limites laterais. Indique, justificando, as regiões de crescimento e decrescimento, pontos críticos de máximo de mínimo e de inflexão, regiões de concavidade e convexidade.

Assim sendo: ( ) Onde x≥0 → n Criamos uma função auxiliar
1

( e

) a>1→φ

( )

(

)

Estudaremos essa função para facilitar os cálculos e depois transporemos o raciocínio para ( ), já que podemos estabelecer a seguinte relação: ( ) Então: ( ) ( ) ( )

Uma vez estabelecidas duas funções próprias ao sistema, utilizaremos a Regra L’HOPITAL para calcular o limite das frações. Antes, é bom salientar que a referida regra foi assim definida por STEWART:
L’Hospital’s Rule says that the limit of a quotient of functions is equal to the limit of the quotient of their derivatives, provided that the given conditions are satisfied. It is especially