controle

SISTEMAS DE CONTROLE
Lugar da Raízes
(Tópico 3)
Enes Gonçalves Marra
Escola de Engenharia Elétrica, Mecânia e de Computação
UFG

Engenharia de Computação

3. LUGAR DA RAÍZES
3.1. Técnica (método ou análise) do Lugar das Raízes
• Bibliografia: Cap 7: Dorf; Cap 8: Nise, Kuo; Cap 7: Ogata
• Lugar da Raízes são as trajetórias das raízes do sistema (pólos ou zeros) quando um parâmetro varia
• W. R. Evans (1948 – 1954): apresentou a técnica do Lugar da
Raízes (LR)
ASPECTOS IMPORTANTES
• Propriedades e Regras para a construção gráfica do LR
• Fundamentos da técnica do LR
• Implementação gráfica do LR para análise e para o projeto
• Programas computacionais para a construção precisa do LR
• Criticar e interpretar resultados produzidos por programas

ASPECTOS IMPORTANTES
• O método do LR é aplicável ao estudo do comportamento das raízes de qualquer equação algébrica com parâmetros variáveis
• A construção do LR para a variação de vários parâmetros
(multiparamétrico) é realizado variando-se um parâmetro por vez. O conjunto resultante de cada um destes LR é denominado Contorno das raízes
• Contorno da raízes é o lugar das raízes (LR) para vários parâmetros

3.2. O Problema do Controle em Malha Fechada
• Problema do controle em malha fechada: fatorar o denominador da
Função de Transferência (FT(s)) com a variação do denominador em função de k ∈ ℜ

Figura 1

G ( s) =

H ( s) =

FT ( s ) =

N G ( s)
DG ( s )
N H ( s)
DH ( s )

kG ( s ) kN G ( s ) DH ( s )
=
1 + kG ( s ) H ( s ) DG ( s ) DH ( s ) + kN G ( s ) N H ( s )

• Lugar da Raízes (LR) permite o conhecimento das raízes do denominador (Equação Característica) de FT(s) (pólos de FT(s)) com a variação de k ∈ ℜ
• G(s) e H(s) são consideradas funções racionais próprias (sistemas causais) • Grau[ DG ( s ) DH ( s )] ≥ Grau[ N G ( s ) N H ( s )]

• O denominador de FT(s), 1 + kG ( s ) H ( s ) = DG ( s ) DH ( s ) + kN G ( s ) N H ( s ) , pode ser SEMPRE escrito com