blanchard

Derive os estimadores de Mínimos Quadrados . Explique e demonstre todos os passos.
Matricialmente:
O princípio básico é o mesmo. O objetivo é derivar os estimadores de MQO que minimizem a soma dos quadrados dos resíduos (SQR).
Matricialmente, a Função de Regressão Populacional é

(1)
Onde Ynx1 é o vetor coluna da variável dependente Xnxk é a matriz nxk com k-1 variáveis independentes e uma coluna de 1s kx1 é o vetor coluna dos parâmetros unx1 é o vetor coluna nx1 dos resíduos
Hipóteses do modelo:
E(u)=0
E(uu’)=σ²I (homoscedasticidade)
A Função de Regressão Amostral (FRA), na forma matricial, é

(2)
O objetivo do MQO é minimizar a soma dos quadrados dos resíduos. Matricialmente, temos que û'û== Como, a partir de (2) temos:
,  

Assim, û'û = = Y´Y - Y´X -
Como Y´X é um escalar, ele é igual a sua transposta .
Assim,
û'û=Y´Y-2
(3)
Tomando a derivada de (3) encontramos os pontos que minimizam a função:

(4)
Dividindo ambos os lados de (4) por 2 e arrumando,

(5)
Pré multiplicando por (X’X)-1 temos:

(6)
Como

(7)
O Vetor assim estimado fornecerá os coeficientes que minimizam a SQR
Demonstre que o estimador de atende ao Teorema de Gauss-Markov (ou seja, é BLUE). O que esse teorema garante ao estimador?
Para demonstrar que esse estimador é BLUE temos que provar que ele é Não-Tendencioso e tem Variância Mínima.
Como

(1)

(2)
Substituindo 1 em 2, temos

(3)

(4)

(5)
Tomando a Esperança E(.) de (5)

(6)
Como E() = e E(u)=0:

Caso tenhamos um outro estimador

(7) com c = matriz de constantes
Reproduzindo o processo anterior e substituindo 1 em 7:

(8)
+cu
(9)
+cu
(10)
Tomando a Esperança de 10
+cu]
(10.1)
Assim, sabendo que E(u)=0

Logo, para que o estimador seja não tendencioso, =0, assim, (11)

Para ter variância mínima, retomando10 e usando 11 cu (12) cu (13)
Elevando (13) ao quadrado: cu]cu]´ (14)
Tomando a esperança