Aula De DERIVADAS

DERIVADAS

Prof. Ms. Patricia Klinkerfus de Campos

Introdução
• O conceito de derivada, nas áreas de Administração e Economia, é

utilizado principalmente no estudo gráfico de funções, determinação de máximos e mínimos e cálculo de taxas de variação de funções.
• Consideremos uma função f(x) e sejam x o e x1 dois pontos de seu domínio; sejam f(xo) e f(x1) as correspondentes imagens.
• Chamamos de taxa média de variação de f, para x variando de xo até x1, ao quociente:

Exemplo
• Sejam a função f(x) = x², o ponto inicial de abscissa x = 1
0

e a variação
= 2 (isto é, x varia de 1 a 3). A taxa média de variação de f para esses valores é:

• Isso significa que se x variar 2 unidades (a partir de x o= 1)

a variação de f será 4 vezes maior, pois
=2.

=8, enquanto

Derivada
• Seja f(x) uma função e x0 um ponto de seu domínio.

Chamamos derivada de f no ponto x0, se existir e for finito, o limite dados por:

Exemplo
• Qual a derivada de f(x) = x2, no ponto x0 = 3?

Exemplo 2:
• Qual a derivada de f(x) = x2 no ponto x0 = -2?

Exercícios
Para cada função f(x), determine a derivada f’(xo) no ponto xo indicado:
a) f(x) = x²

xo = 4

b) f(x) = 2x + 3

xo = 3

c) f(x) = - 3x xo = 1
d) f(x) = x² - 3x xo = 2
e) f(x) = x² - 4 xo = 0
f)

f(x) = 1/x xo = 2

g) f(x) = 1/x xo = 5
h) f(x) = x² - 3x + 4 xo = 6

Derivada da função Constante
Seja f(x) = c (função constante), então f’(x) = 0, para todo x.
Demonstração:

Exemplo: f(x) = 5 f(x) = e²

f’(x) = 0 f’(x) = 0

Derivada da função potência
•Seja
f(x) = xn, então f’(x) = n.xn-1

Exemplos: f(x) = x³ f’(x) = 3x² f(x) = x8 f’(x) = 8x7 f(x) = 1/x³ =x-3 f’(x) = -3x-4 = -3/x4 f(x) = 1/2 f’(x) = ½ x-1/2 = 1/2

Derivada da função logarítmica
•Se
f(x) = ln x, então f’(x) = 1/x (para x>0).

Exemplos: f(x) = ln 4 f’(x) = ¼ f(x) = ln 1/ = 1/2

Propriedades Operatórias
As propriedades operatórias permitem achar as derivadas de somas, diferenças, produtos e quocientes de funções elementares. São elas:
(P1) Se f(x) = k.g(x), então