Derivada Aula 01

Derivadas

Aula 01

Prof. Cleber Costa Jr

O conceito de
Derivada
está intimamente ligado ao conceito de reta tangente a uma curva.

A

B

A tangente é determinada por sua inclinação (Coeficiente angular) e pelo ponto de tangência.

Como determinar a inclinação da reta tangente ao ponto P da função representada abaixo?

P

Interpretação Geométrica
Y

Q

P



s



x

Interpretação Geométrica
Y

Q

s

f ( x  x )

y
P
f ( x)



 x  x

x

x

Δy tgα 
Δx

x f(x  Δx) - f(x) tgα 
Δx

Interpretação Geométrica
Y

Q

s

Q P

f ( x  x )

y
P
f (x)







 x  x

x

x

x  0

f(x  Δx) - f(x) tg 
Δx

x

f(x  Δx) - f(x) tg 
Δx
y f(x  Δx) - f(x) tg 

x
Δx

Y

x  0
P


y f(x  Δx) - f(x) lim  lim
x  0  x
x  0
Δx



x

y
Fazendo , lim
 m( x )
x  0 x f(x  Δx) - f(x) m( x )  lim
x  0
Δx

f(x  Δx) - f(x) m( x )  lim
x  0
Δx
Y

x  0
P


x  x  x o
Logo , x  x o



x

f(x) - f(x 0 ) m( x )  lim x  x0 x - x0

EQUAÇÃO DA RETA TANGENTE

f(x) - f(x 0 ) f ' ( x 0 )  lim x x x - x0

Y

0

P




x

y  f(x 0 )  f '(x 0 ) (x  x 0 )

Exemplo:
Encontrar a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abscissa

y  f(x 0 )  f '(x 0 ) (x  x 0 )
E no ponto de abscissa ?

Exemplo:
Determine o coeficiente angular e a equação da reta tangente à curva y = x 2 no ponto P(2, 4)

y  4 x  4 0

E q u a çã o d a Re t a N o rm a l

n f(x 0 ) x0 t
1
y  f(x 0 )  
(x  x 0 ) f '(x 0 )

f '(x 0 )  0

Equação da Reta Normal
1
y  f(x 0 )  
(x  x 0 ) f '(x 0 )

exemplo
Encontre a reta normal ao gráfico da função anterior.

APLICAÇÃO:
Determinar a equação da reta tangente e da reta normal às curvas, nos pontos indicados:

TAXA DE VARIAÇÃO INSTANTÂNEA
Sabe-se que a velocidade média de um corpo móvel é dado pelo quociente entre o espaço percorrido e o tempo gasto para percorrê-lo. Desse modo, se um corpo se move em linha reta, s(t) representa a posição do móvel no instante t.

Logo, no