Aula 10 Derivadas Parciais

EXEMPLOS
Mostrar que os limites não existem
𝑥2 − 𝑦2 lim (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 + 𝑦 2

𝑥𝑦 lim (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 + 𝑦 2

𝑥𝑦 2 lim (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 + 𝑦 4

Uma função f de duas variáveis é dita contínua em (a,b) se lim 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑓 𝑎, 𝑏
(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)

Dizemos que f é contínua em D se f for contínua em todo ponto (a,b) de D.

Exemplos
Descreva os pontos (x,y) onde a função é contínua
𝑓 𝑥, 𝑦 =

𝑥 + 2𝑦
𝑥 − 4𝑦 2

𝑔 𝑥, 𝑦 =

𝑥−𝑦 ln⁡(𝑥 2 + 𝑦)

EXERCÍCIOS
Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe
𝑥4 − 𝑦4 lim (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 2 + 𝑦 2

𝑥2 − 𝑦2 lim (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑥 4 − 𝑦 4

DERIVADAS PARCIAIS
Se f é uma função de duas variáveis, suas derivadas parciais são as funções 𝑓𝑥 e
𝑓𝑦 definidas por
𝑓 𝑥 + ℎ, 𝑦 − 𝑓(𝑥, 𝑦)
ℎ→0
ℎ

𝑓𝑥 = lim

𝑓 𝑥, 𝑦 + ℎ − 𝑓(𝑥, 𝑦)
ℎ→0
ℎ

𝑓𝑦 = lim
Notações

𝜕𝑓 𝜕𝑧
𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 =
=
= 𝑓1 = 𝐷1 𝑓 = 𝐷𝑥 𝑓
𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑦 =

𝜕𝑓 𝜕𝑧
=
= 𝑓2 = 𝐷2 𝑓 = 𝐷𝑦 𝑓
𝜕𝑦 𝜕𝑦

EXEMPLOS

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA

Então, as derivadas parciais 𝑓𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 ) e 𝑓_𝑦(𝑥0 , 𝑦0 ) podem ser interpretadas geometricamente como as inclinações das retas tangentes em 𝑃(𝑥0 , 𝑦0 , 𝑓 𝑥0 , 𝑦0 ) aos traços QPR e LPM da superfície nos planos 𝑦 = 𝑦0 e 𝑥 = 𝑥0 .

EXEMPLOS

DERIVADAS DE MAIOR ORDEM
Se f é uma função de duas variáveis, suas derivadas parciais 𝑓𝑥 e 𝑓𝑦 são funções de duas variáveis, de modo que podemos considerar novamente suas derivadas parciais, chamadas derivadas parciais de segunda ordem de f. Se 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦), usamos a seguinte notação:
𝑓𝑥

𝑓𝑥

𝑥

𝑦

= 𝑓𝑥𝑥

𝜕 𝜕𝑓
𝜕2𝑓 𝜕2𝑧
= 𝑓11 =
= 2= 2
𝜕𝑥 𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑥

= 𝑓𝑥𝑦

𝜕 𝜕𝑓
𝜕2𝑓
𝜕2𝑧
= 𝑓12 =
=
=
𝜕𝑦 𝜕𝑥
𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑦𝜕𝑥

𝑓𝑦

𝑓𝑦

𝑥

𝑦

= 𝑓𝑦𝑦 = 𝑓22

= 𝑓𝑦𝑥 = 𝑓21

𝜕 𝜕𝑓
𝜕2𝑓 𝜕2𝑧
=
= 2= 2
𝜕𝑦 𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑦

𝜕 𝜕𝑓
𝜕2𝑓
𝜕2𝑧
=
=
=
𝜕𝑥 𝜕𝑦
𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑦

Teorema
Suponha que f seja definida em uma bola aberta D que contenha o ponto (a,b).
Se as funções