Notas De Aula C Lculo III

Notas de Aula Cálculo Diferencial Integral III

1

I) Funções de Mais de Uma Variável

1) Funções de Mais de Uma Variável
Seja A um conjunto do espaço n-dimensional (A ⊆ IR n ), isto é, os elementos de A são nuplas ordenadas ( x1 , x 2 , K, x n ) de números reais. Se a cada ponto P do conjunto A associamos um único elemento z∈ IR, temos uma função f : A ⊆ IR n → IR. Essa função é chamada de função de n-variáveis reais. E denotamos por:

Z = f (P )

ou

Z = f ( x1 , x 2 , K, x n ) .

A partir dessa definição, tem-se que o domínio de uma função de n variáveis é um conjunto de pontos em IRn e que a imagem é um conjunto de números reais ou, equivalentemente, um conjunto de pontos em IR.
Exemplos de Funções de Várias Variáveis
i)

V = πr 2 h (volume de um cilindro)

ii)

P=

iii)

M = C (1 + i ) (montante de um capital)

iv)

f ( x, y ) = 25 − x 2 − y 2

v)

g ( x, y, z ) = x 3 − 4 yz 2

nRT
(equação de estado de um gás ideal)
V
t

2) Estudo do Domínio e da Imagem de Funções de Várias Variáveis
Como já foi dito anteriormente, o domínio de uma função de n variáveis é um conjunto de pontos em IRn e a imagem é um conjunto de pontos em IR. É de extrema importância sabermos analisar bem estes conjuntos.

2

Notas de Aula Cálculo Diferencial Integral III

Exemplos:
1 ) Determine o domínio e a imagem da função f ( x, y ) = 64 − x 2 − y 2 .
Solução:
64 − x 2 − y 2 ≥ 0 ⇔ x 2 + y 2 ≤ 64 ∴ D f = ( x, y ) ∈ R 2 : x 2 + y 2 ≤ 64

{

}

Temos pois : x² + y² ≤ 8² (círculo) logo, Im f = {z ∈ R : 0 ≤ z ≤ 8}ou Imf = [ 0; 8 ].

Centro (0,0) e raio ≤ 8 x z

Gráfico
8

da

Gráfico do
Domínio da função. HEMISFÉRIO SUPERIOR

-8

8

y

8

8

-8

y

8 x -8

2 ) Determine o Domínio para g ( x, y, z ) = 16 − x 2 − y 2 − z 2 , e esboce o gráfico do domínio.
Solução:
16 − x 2 − y 2 − z 2 ≥ 0 ⇔ x 2 + y 2 + z 2 ≤ 16

∴

{

}

D( z ) = ( x, y, z ) ∈ R 3 | x 2 + y 2 + z 2 ≤ 16
Gráfico do Domínio: z 4

4 x 4

y

Observe que o gráfico da função seria quadridimensional, não podendo, portanto, ser