Calculo 2

Derivadas parciais de ordens superiores

´ MODULO 1 – AULA 15

Aula 15 – Derivadas parciais de ordens superiores
Objetivos
• Usar a Regra da Cadeia para calcular derivadas parciais de ordens superiores. • Conhecer uma condi¸˜o suficiente para a comutatividade das ca derivadas parciais.

Introdu¸˜o ca
Por que derivar mais do que uma vez? Antes de responder a esta pergunta, vamos considerar alguns aspectos da derivada. Vejamos: quando algu´m menciona o termo derivada, o que e ocorre a vocˆ? Digamos que tenha sido algo como “a derivada ´ a medida e e da mudan¸a da fun¸˜o em torno de um certo ponto”. Bom! Em particular, c ca se a fun¸˜o for constante, n˜o h´ mudan¸a na fun¸˜o e essa medida ´ nula, ca a a c ca e a o que se encaixa nessa vis˜o geral. Vocˆ aprendeu que, se a derivada de uma fun¸˜o de uma vari´vel real ´ e ca a e positiva ao longo de um intervalo, ent˜o essa fun¸˜o ´ crescente a ca e nesse intervalo. Resumindo: o estudo dos sinais da derivada, assim como o seu comportamento em torno de seus zeros, nos d´ informa¸˜es valiosas a respeito a co da fun¸˜o. ca a c Mas veja: esse estudo de sinais da derivada n˜o detecta a diferen¸a que h´ entre as duas fun¸˜es cujos gr´ficos est˜o esbo¸ados a seguir, uma vez a co a a c que ambas s˜o crescentes. a

Figura 15.1

Figura 15.2
171 CEDERJ

Derivadas parciais de ordens superiores

Enquanto a derivada mede o crescimento do gr´fico da fun¸˜o, sua a ca curvatura ´ detectada pela derivada segunda. Essa ´ uma motiva¸˜o para e e ca considerarmos derivadas de ordens superiores. H´ outras. Por exemplo, a F´rmula de Taylor, um tema que ainda a o exploraremos. Agora, ao assunto da aula!

Parciais de parciais
Vocˆ aprendeu a calcular derivadas parciais de uma dada fun¸˜o de duas e ca ou mais vari´veis. Essas derivadas s˜o, elas pr´prias, fun¸˜es que podem a a o co ser, por sua vez, submetidas ao mesmo processo: derivar parcialmente as derivadas parciais. Veja um exemplo. Exemplo 15.1 Vamos calcular as derivadas