CÁLCULO 2

CÁLCULO 2

UNIDADE A : TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO

PROF MARCO A BRASIL

NÚCLEO DE MATEMÁTICA

GRUPO DE CÁLCULO:

CÁLCULO II
ATIVIDADES DE ESTUDO:

TÉCNICAS
DE INTEGRAÇÃO

Prof Marco A Brasil
INTEGRAL INDEFINIDA

PÁGINA 1

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UNIDADE A : TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO

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1 INTEGRAL INDEFINIDA
No Cálculo Diferencial, dado y = f ( x ), procuramos a derivada y´= f´ ( x ).
No Cálculo Integral, dado y´= f´( x ), queremos determinar y = f ( x ).
O processo que determina a função f cuja derivada é f´ ( x ) é chamado ANTIDERIVAÇÃO, ANTIDIFERENCIAÇÃO ou INTEGRAÇÃO.

ANTIDIFERENCIAÇÃO: A INTEGRAL INDEFINIDA I

§1

Uma função F tal que F´x ) = f ( x ) é chamada uma primitiva ou antiderivada de f.
Se F é uma antiderivada de f e C  , então F( x ) = G ( x ) + C também é antiderivada de f, pois F´( x ) = [ G ( x ) + C ]´= G´( x ) + C´= G´( x ) + 0 = G´(x) = f(x).
Por exemplo, G(x) =
= x e F´(x) = [

=

e F(x) =
+ C]´= (

+ C são antiderivadas de f(x) = x, pois G´(x)
)´ + C´=

+ 0 = x.

Para mais exemplos, na coluna ( 1 ) do quadro abaixo perguntamos
Qual é a função cuja derivada é... ?
A resposta está na coluna (2) e a justificativa, na coluna ( 3 ).

(1)

(2)

(3)

0

C

( C )´= 0

1

x+C

(x+ C)´ = x´+ C´= x + 0 = x

X

+C

x²

[

]

=(

)´ + C´ =

+ 0 = x.

+C

[

+ C]´= (

)´ + C´=

+ 0 = x².

+C

[

+ C]´= (

)´ + C´=

+0=

+C

[

+ C]´= (

)´ + C´=

+0=

1/x

ln x + C

sen x

 cos x + C

[ cos x + C]´= ( cos x)´ + C´=  (cos x)´= sen x

cos x

sen x + C

[ sen x + C]´= (sen x)´ + C´= cos x

INTEGRAL INDEFINIDA

( ln x + C)´ = (ln x)´+ C´=

=

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NOTAÇÕES PARA ANTIDERIVADAS

§2

Expressamos antiderivadas usando um símbolo especial criado pelo matemático alemão Gottfried Willeim Leibniz.
Trata-se de um s estilizado como ∫.
O