ATIVIDADE 6 AULA 6 INTRODU O A ANALISE

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ
INSTITUTO UFC VIRTUAL

LICENCIATURA PLENA DE MATEMÁTICA - PÓLO DE QUIXADÁ
DISCIPLINA: INTRODUÇÃO A ANÁLISE
PROFESSOR:
NOME: FRANCISCO ANDERSON MOREIRA FELIPE
DATA: 20/04/2015

ALGUMAS NOÇÕES DE TOPOLOGIA PARTE 1

Aula 06

QUIXADÁ – CE
2015.1
1-Seja aberto. Prove que para todo x ϵ R , o conjunto x + A = {x + a; a ϵ A} é aberto. Analogamente, se x ≠ 0, então o conjunto x.A = {x.a; a ϵ A} é aberto.
Primeiramente iremos fazer a : 1ª demonstração:

Onde: m ϵ x + A ↔ m – x ϵ A

Então, se: m ϵ x + A então temos que m = x + A , para algum a ϵ A , daí m – x = a ϵ A m – x ϵ A existe a ϵ A tal que m – x = x + a → a ϵ x + A

Agora supomos que c ϵ x + A, temos que prova que c é um ponto interior de A.

Com isso: a ϵ A / c = x + a com a um ponto interior de A.

Ǝε < 0 / a – ε < t < a + ε → t ϵ A
Ǝm ϵ A/ c – ε < m < c + ε para todo m ϵ (c – ε, c + ε), logo: x + a – ε < m < x + a + ε, que segue: a – ε < m – x < a + ε , assim concluímos que:

m – x ϵ A → (c – ε, c + ε) esta contido em x + A → m ϵ x + A

Para a 2ª demonstração teremos:

Temos que x ≠ 0.

Seja lim xn  = x.a ϵ x.A com n suficientemente grande xn ϵ x.A, onde tem –se que x.A é aberto. Logo: xn = xyn → yn = a ϵ A
Temos que a é aberto logo para todo n vale yn ϵ A, logo segue que para todos os valores de n, xn = xyn ϵ x.A.

2-Prove que se é aberto e a ϵ A então A – {a} é aberto.

Observemos que se A é aberto → para todo b ϵ A – a Ǝε / (b – ε , b + ε) A.
Assim:
(b - ε) A – {a} → b é ponto interior de A – {a}
(b – ε , b + ε) A – {a} , somando (b – ε , b + ε) A, logo a ϵ (b – ε , b + ε), onde segue que:

b < a < b + ε → Ǝ ε1 / b < b + ε1 < a → (b – ε1 , b + ε1) A – {a} b – ε < a < b → Ǝε2 / b – ε2 < b → (b – ε2 , b + ε2) A – {a} com isso concluímos que para todo b ϵ A – {a} , existe ε > 0 tal que (b – ε1 , b + ε1) A – {a} logo A - {a} é aberto.

3-Se lim xn = a e X = {x1,x2,...,xn,...} então X = X U {a}.

Temos o lim xn =