As Cônicas

Páginas: 7 (1633 palavras) Publicado: 18 de setembro de 2014
UNIVERSIDADE LUTERANA DO BRASIL
GEOMETRIA ANALÍTICA E ALGEBRA LINEAR
AS CÔNICAS
1. A circunferência:
1.1. Definição da circunferência:
Circunferência é o lugar geométrico dos pontos que distam r de um
ponto o dado, sendo r uma constante real positiva.
1.2. Elementos da circunferência e representação gráfica:
O = centro;
r = medida do raio; e
d = medida do diâmetro, d = 2r
AB = corda AB= x < 2r
Arco

1.3. Equação da circunferência com centro na origem e representação gráfica:
Circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano
eqüidistantes de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro
da circunferência:
Assim, sendo C(a, b) o centro e P(x, y) um ponto qualquer da
circunferência, a distância de C a P(dCP) é o raio dessa circunferência.
Então:

1.4.Três exemplos de exercícios envolvendo a equação da circunferência:
1º Exemplo:
Determine o centro da equação da circunferência que possui
centro em C(3, 6) e raio 4.
Resolução:
A equação da circunferência de centro C(a, b) e raio r, com r > 0, é
(x-a)² + (y-b)² = r². Logo, a equação da circunferência é dada por (x-3)² +
(y-6)² = 16.
2º Exemplo:
O ponto P(3, b) pertencem à circunferênciade centro no ponto C(0,
3) e raio 5. Calcule o valor da coordenada b.
Resolução:
Temos por (x-a)² + (y-b)² = r², que a circunferência de centro C(0,
3) e raio 5, possui como representações a equação(x-0)² + (y-3)² = 5² ou
x²+(y-3)²=25.
Considerando que o ponto P(3, b)pertence à circunferência, então:
x²+(y-3)²=25
3²+(y-3)²=25
9+(y-3)²=25
(y-3)²=25-9
(y-3)²=16
b-3=4 ou b-3=-4
b=4+3 oub=-4+3
b=7 ou b=-1
3º Exemplo:
Determine a equação da circunferência com centro no ponto C(2,
1) e que passa pelo ponto A(1, 1).
Resolução:
Considerando que o ponto A(1, 1) pertence à circunferência, temos
que a distância entre os pontos C e A correspondente ao raio da
circunferência. Então:
d(A, C)=˅(x2-x1)² - (y2-y1)²
2. A parábola:
2.1. Definição da parábola:
Considerando um ponto F(foco) e uma reta d (diretriz), sendo F não
pertencente a d, pertencentes a um mesmo plano, definimos parábola
como o lugar geométrico dos pontos P do ponto eqüidistante do ponto
Fe da reta d.
2.2. Elementos da parábola e representação gráfica:
F = foco
d = diretriz
V = vértice
p = 2.f é o parâmetro (FV = Vd = f)

VF = eixo das simetrias

2.3. Equação da parábola com vértice na origeme representação
gráfica:

2.4. Três exemplos de exercícios sobre parábola:
1º Exemplo:
Qual a equação da parábola de foco no ponto F(2,0) e vértice na
origem?
Resolução:
Temos p/2 = 2 ∴ p = 4
Daí, por substituição direta, vem:
y2 = 2.4.x ∴ y2 = 8x ou y2 - 8x = 0
2º Exemplo:
Qual a equação da parábola de foco no ponto F(4,0) e vértice no
ponto V(2,0)?
Resolução:
Como já sabemos queVF = p/2, vem, 2 = p/2 ∴ p = 4.
Logo, (y - 0)2 = 2.4(x - 2)2 ∴ y2 = 8(x-2) ∴ y2 - 8x + 16 = 0, que é a
equação da parábola.
3º Exemplo:
Qual a equação da parábola de foco no ponto F(6,3) e vértice no
ponto V(2,3)?
Resolução:
Como VF = p/2, vem: 4 = p/2 ∴ p = 8.
Daí, vem: (y - 3)2 = 2.8(x - 2) ∴ y2 - 6y + 9 = 16x - 32 ∴ y2 - 6y - 16x +
41 = 0, que é a equação procurada.

3. A elipse:3.1. Definição da elipse:
É um conjunto de pontosdo plano cuja soma das distâncias a dois
pontos fixos é constante (2a) e maior do que a distância entre eles.
Os pontos fixos são os focos da elipse. A distância entre os focos
chama-se distância focal (2c).
3.2. Elementos da elipse e representação gráfica:
F1 e F2 = focos
C = centro da elipse
2c = distância focal
2a = medida do eixo maior2b = medida do eixo menor
c/a = excentricidade

3.3. Equação da elipse com centro na origem e representação gráfica:
1º Caso: Elipse em foco sobre o eixo x:

Nesse caso, os focos tem coordenadas F1(-c, 0) e F2(c, 0). Logo, a
equação reduzida da elipse com centro na origem do sistema cartesiano
e com focos sobre o eixo x será:
x² + y² = 1
a² b²

2º Caso: Elipse em foco sobre o eixo...
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