Aplicações de derivada

Capítulo 4

APLICAÇÕES DA DERIVADA
4.1 Variação de Funções
Definição 4.1. Seja f uma função e x0 ∈ Dom(f ).
1. f possui um ponto de máximo relativo ou de máximo local no ponto x0 , se existe um pequeno intervalo aberto I que contem x0 tal que: f (x0 ) ≥ f (x),

para todo

x ∈ I ∩ Dom(f )

A imagem de x0 , f (x0 ), é chamada valor máximo local de f .
2. f possui um ponto de mínimo relativo ou de mínimo local no ponto x0 , se existe um pequeno intervalo aberto I que contem x0 tal que: f (x) ≥ f (x0 ),

para todo

x ∈ I ∩ Dom(f )

A imagem de x0 , f (x0 ), é chamada valor mínimo local de f .

Max

Min

Figura 4.1: Pontos de mínimo e máximo.
Em geral, um ponto de máximo ou de mínimo de uma função f é chamado ponto extremo de f .
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CAPÍTULO 4. APLICAÇÕES DA DERIVADA

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Exemplo 4.1.
[1] Seja f (x) = sen(x), x ∈ R.

π π O ponto x0 = é um ponto de máximo relativo, pois sen(x) ≤ 1 para todo x ∈ R e f ( ) = 1;
2
2 π π x0 = − é um ponto de mínimo relativo, pois sen(x) ≥ −1, para todo x ∈ R e f (− ) = −1.
2
2
3π
Observe que x0 =
+ k π, para todo k ∈ Z, são também pontos extremos de f . De fato :
2
sen(

3π
+ k π) = −cos(k π) = (−1)k+1 .
2

1.0

0.5

6

4

2

2

4

6

0.5

1.0

Figura 4.2: Gráfico de f (x) = sen(x).
[2] Seja f (x) = x2 , x ∈ R; x0 = 0 é um ponto de mínimo relativo, pois x2 ≥ 0 para todo x ∈ R e f (0) = 0. Na verdade x0 = 0 é o único ponto extremo de f .

Figura 4.3: Gráfico de f (x) = x2 .
[3] Seja f (x) = |x|, x ∈ R; x0 = 0 é um ponto de mínimo relativo, pois |x| ≥ 0 para todo x ∈ R e f (0) = 0. Como no exemplo anterior, x0 = 0 é o único ponto extremo de f .

4.1. VARIAÇÃO DE FUNÇÕES

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Figura 4.4: Gráfico de f (x) = |x|.
[4] Seja f (x) = x, x ∈ R.

A função f não possui pontos de máximo ou mínimo relativos em R.
Se f é restrita ao intervalo − 1, 1 , então f possui o ponto x0 = 1 de máximo relativo.

Se f é restrita ao intervalo [0, 2], então f possui o ponto