Aplicacões de derivadas

Aplicações de derivadas

A derivada de uma função num determinado ponto é interpretada geometricamente como sendo o coeficiente angular da reta tangente ao seu gráfico nesse ponto. Existem pontos onde a inclinação da reta é nula. Dada uma curva f(x), usa-se o conceito de derivada para se obter informações mais detalhadas do comportamento gráfico da curva. Essas informações fornecem um método geral para a construção dos gráficos de funções mais complexas.

Definição:
Se [pic], x é chamado de ponto crítico ou ponto estacionário. Esse ponto crítico pode ser de máximo ou de mínimo, dependendo da concavidade da função.
Então:
Seja [pic]( domínio) um ponto crítico, isto é [pic]. Então, se :
[pic]é ponto de mínimo
[pic]é ponto de máximo
[pic]pode ser ponto de inflexão

O teste da derivada da primeira

Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a,b] e derivável no intervalo (a,b):
- Se f ’(x) > 0, para qualquer x [pic] [a,b], então f(x) é crescente em [a,b].
- Se f ’(x) < 0, para qualquer x [pic] [a,b], então f(x) é decrescente em [a,b].

OBS: Podemos estudar os extremos local através do teste da derivada primeira:
- Se f’passa de positiva para negativa, ou de crescente para decrescente em c, então f(c) é Maximo local de f.
- Se f’passa de negativa para positiva, ou de decrescente para crescente em c, então f(c) é Mínimo local de f.

O teste da derivada da segunda
Seja f(x) uma função contínua no intervalo [a,b] e derivável até segunda ordem no intervalo
(a,b):
- Se f ’’(x)>0, para qualquer x[pic][a,b], então f(x) é côncava para cima no intervalo [a,b].
- Se f