Aplicações de derivada

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DA PARAÍBA. DIRETORIA DE ENSINO CURSO: ENGENHARIA ELÉTRICA DISCIPLINA: CÁLCULO I PROFESSORA: KALINA AIRES

Material de aula: Aplicações de Derivada: 1) Regra de L’Hôpital: Sejam f e g funções diferenciáveis em um intervalo (a, b) contendo c, exceto possivelmente no próprio c. Se f(x)/g(x) tem a forma indeterminada 0/0 ou  /  , em x = c e se g( x)  0 para x  c , então f ( x) f ( x ) f ( x ) f ( x ) lim  lim lim . lim x  c g( x ) x  c g( x ) , desde que x  c g( x ) exista, ou x  c g( x ) Exemplo: Calcule os seguintes limites: a) lim

x 0

2x arctgx

b) lim

x 0

senx  x tgx  x

Solução: Substituindo x por 0, em a e b, encontramos 0/0. Assim, é possível usarmos a regra de L’Hôpital.

2x lim lim a) x  0 arctgx  x  0

2 1 1 x 2

 lim

2(1  x 2 )  2. x 0 1

    senx    senx   cos x  1  senx  x cos3 x 1    lim lim  lim   lim   .   lim   b) x  0 tgx  x 2 2 x  0  sec2 x  1 x  0  2 sec2 x.tgx  x  0  2senx  x 0    cos3 x   
2) Reta tangente Considere a função f cujo gráfico está representado na figura 1. Queremos determinar a equação da reta tangente t à f, por P(a, f(a)). Figura 1 y a x f(a)

P

1

Determinando outro ponto Q(x, f(x)) da função, e passando por P e Q a reta secante s, temos f ( x )  f (a ) que o coeficiente angular de s é dado por: m s  (veja figura 2). x a Figura 2 Figura 3 y y

s x Q f(a) f(x)
P

s

t xa

a x f(x) f(a)

x

Q

P

t

Como mostra a figura 3, fazendo x  a , temos que m t  lim

f ( x )  f (a )  f (a). x a x a

Desta forma, a equação da reta tangente à f por P, pode ser obtida usando a fórmula pontocoeficiente angular y  f (a)  mt .( x  a) .

Figura 4 y Definição: Se f é diferenciável, então a reta normal n em um ponto P(a, f(a)) do gráfico de f, é a reta que passa por P e é perpendicular à reta tangente t (figura 4). Temos que: ●Se