Cálculo de integrais

INSTITUTO EDUCACIONAL O BOM PASTOR www.iebp.pro.br Professor V. Filho __________________________________________________________________________________________ Apostila de Cálculo 2 Integrais 1 Professor V. Filho IEBP - INSTITUTO EDUCACIONAL O BOM PASTOR www.iebp.pro.br __________________________________________________________________________________________ 1 Introdução à Integração CAPÍTULO Neste capitulo introduziremos a integral. Em primeiro lugar, trataremos da integração. Em seguida, veremos a integral definida – que é a integral propriamente dita – e sal relação com o problema de determinar a área de uma figura plana, depois o Teorema Fundamental do Cálculo, que é peça chave de todo Cálculo Diferencial e Integral, pois estabelece a ligação entre as operações de derivação e integração. Finalmente, estabelecemos o conceito de integral para as funções continuas por partes e abordaremos as integrais impróprias. Integral Indefinida Sabemos que , dada uma função f(x) = 3x2, ao derivarmos f(x) obtemos f’(x) = 6x. d Digamos que temos f’(x) =6x, podemos afirmar que f(x) = 3x2 pois (3x2) = 6x; dx a este processo damos o nome de ANTIDERIVAÇÃO, ou seja, o processo que determina a função original ( Primitiva ) a partir de sua derivada. “ Vamos utilizar a notação F(x) como antiderivada de f(x) “. OBS: Seja F(x) uma antiderivada de f(x), então F(x) + C também o é, onde C é uma Constante de Integração, por exemplo : F(x) = x4, G(x) =

TRIGONOMETRIA 1.Identidades Fundamentais 1.1. cotgx=1/tgx; secx=1/cosx; cossecx=1/senx 1.2. tgx=senx/cosx; cotgx=cosx/senx 2 2 2 2 2 2 1.3. sen x+cos x=1; 1+tg x=sec x; 1+cotg x=cossec x 2. Fórmulas de Redução 2.1. sen(π π/2 – x)=cosx; tg(π π/2 – x)=cotgx; sec(π π/2 – x)=cossecx 2.2. sen(π π ± x)= m senx; cos(π π ± x)= –cosx; tg(π π ± x)=± ±tgx 2.3. sen(2π π-x)=–senx; cos(2π π-x)=cosx As raízes da equação do 2o grau ax2+bx+c=0, são: 3.1. sen(x± ±y)=senx*cosy± ±seny*cosx 3.2. cos(x±…

Propriedades: n–1 ( c )` = 0 ( x )` = n.x x x n n–1 ( u ) ` = n.u n ∫ n . f ( x ). dx ∫ [ f (x) + = n .∫ f ( x ) + c ( n é constante ) .u` g ( x )]. dx = ∫ f ( x ). dx + ∫ g ( x ). dx ( a ) ` = a .ln a Exponencial ( au ) ` = u`.au. ln a ( eu ) ` = u`.eu Método de Integração por Partes: ( ex ) ` = ex ∫ ∫ a b u . dv = u .v − b ∫ v . du Logarítmica Neperiana 1 ou a x . ln a u` u (log a )` = ou u . ln a 1 (ln x )` =…

SÓCRATES – 469 – 399 a.C. (Séc. V – IV a.C.) Contexto: Grécia: Atenas (centro da vida social, política e cultural) – glória da civilização grega: Desenvolvimento das cidades, comércio, artesanato, artes militares “Século de Péricles” (439-338 a.C) Maior florescimento da democracia: Igualdade de todos (adultos) perante as leis; direito de participação direta no governo da Pólis; direito de expressão, discussão e defesa de opiniões próprias sobre as decisões da cidade: surgimento do…

função f(x) = x2 + C é primitiva de f (x) = x2 + 4, onde C é uma constante arbitrária chama- da constante de integração. Variando o valor de C, obtém-se uma infinidade de primitivas. A integral ∫f ' ( x )dx = f ( x) + C , é chamada integral indefinida e representa uma família de primitivas. No caso, f(x) = x2 + C é uma família de parábolas. Numa família de curvas, os seus gráficos diferem entre si , apenas por uma translação vertical . 1.3. Problema de valor inicial: Cada função…

função v(t) = 80, a distância percorrida para t horas é dado por: d = 80  t, que é o mesmo valor da área do retângulo de dimensões t por 80. Exemplo 2.2: Movimento Uniforme Variado Para v(t) = v0 + t, sendo v0 a velocidade inicial e  a aceleração, a distância s percorrida para t horas é dada por: t 2 3t 2 = 0  10t  2 2 sendo s0 a distância inicial. s(t)  s0  v0 t  Área do trapézio de bases 10 e 3t + 10 e altura t vale: 10  3t  10) 3t 2 (  t  10t …

(b) lim(3x 2 − x + 1) = lim(3x 2 ) − lim( x) + lim(1) = 12 − 2 + 1 = 11 x→2 x→2 x→2 x→2 (c) lim( x 2 + 2 x − 5) = 0 2 + 2 ⋅ 0 − 5 = −5 x →0 Funções Racionais: P( x) , com P ( x) e Q ( x) polinômios Q( x)  x2 −1  ( x − 1) ( x + 1)  (d) lim  = lim( x + 1) = 2  x − 1  = lim  x →1 x →1 x −1   x →1    x2 −1   ( x + 1) ( x − 1)   x +1    (e) lim  ( x − 1)2  = lim ( x − 1)2  = lim x − 1  = ??? x →1    x →1   x→1…

3ab2 – b3 (a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3 (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3 (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc log a b  x  a x  b log a (bc)  log a b  log a c B) Expoentes inteiros a m .a n  a mn a  m n  a mn a.bn  a n .b n n an a  n ; (b  0)   b b m a  a mm ; (a  0) n a C) Radicais n a .n b  n ab n a n b n a a n m a ; (b  0) b m n b log a    log a b  log a c c log a…

principais: Ordem Dórica - Nasceu na Grécia continental por volta de finais do séc. VII a.C. Possuí formas geométricas e a sua decoração é quase inexistente. A coluna não tem qualquer tipo de base, assenta directamente no estilóbato (último degrau superior, onde assenta o edifício). Apresenta um aspecto sóbrio, pesado e maciço, traduzindo assim a forma masculina. O fuste da coluna é robusto e com caneluras em aresta viva e possuí um capitel formado pelo ábaco e equino ou…

Diversas F´rmulas de Integra¸˜o o ca xr+1 r = −1 I01. k · xr dx = k · +C r+1 I02. k dx = k · ln |x| + C x k · ex dx = k · ex + C ln x dx = x · ln x − x + C sen x dx = − cos x + C cos x dx = sen x + C tg x dx = − ln |cos x| + C = ln |sec x| + C cotg x dx = ln |sen x| + C sec x dx = ln | sec x + tg x| + C cossec x dx = − ln |cossec x + cotg x| + C sec2x dx = tg x + C cossec2x dx = −cotg x + C sec x · tg x dx = sec x + C cossec x · cotg x dx = −cossec x + C 1 1 x dx = arc tg + C a2 + x2 a a…