Calculo ii

Universidade Presbiteriana Mackenzie - Cálculo Diferencial e Integral

Prof. MSc Celso Antonio Abrantes - Anotações – Cap.4: Integrais - pág: 300

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1.Antiderivação ou primitivação: 1.1. Conceito:
Uma antiderivada ou primitiva da função f no intervalo [a, b ] , é uma função F, tal que: dF (x ) = f (x ) para todo x ∈ [a, b] dX

Primitivar ou antiderivar corresponde a determinar a operação primitiva. Primitivar é a operação inversa de derivar.

1.2. Notação de Leibniz:
Outra notação empregada para designar a operação de primitivação de uma função f , no intervalo [a, b ] é

∫

, notação de Leibniz.

O símbolo

∫

( esse alongado, de soma ), é o sinal da integral.

d dx
Exemplo:

( ∫ f (x) dx ) = f ( x )

Se a derivada em relação a x da função f (x) = x2+4 é

df = f ' ( x) = Dx f ( x) = 2 x + 0 = 2 x , dx

então, uma primitiva de

df = 2x é dx

f(x) = x2 + 0 = x2

Outra primitiva é f(x) = x2 – 2 ,

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Outra primitiva é f(x) = x2 + 3 , Assim, a função f(x) = x2 + C é primitiva de f (x) = x2 + 4, onde C é uma constante arbitrária chama- da constante de integração. Variando o valor de C, obtém-se uma infinidade de primitivas. A integral

∫f

' ( x )dx = f ( x) + C , é chamada integral indefinida e representa uma família de

primitivas. No caso, f(x) = x2 + C é uma família de parábolas. Numa família de curvas, os seus gráficos diferem entre si , apenas por uma translação vertical .

1.3. Problema de valor inicial:
Cada função representa um definido fenômeno, com grandeza própria. A constante de integração segue a mesma grandeza da função a ser integrada. Não é fácil generalizar um procedimento para a determinação do seu valor, sem se conhecer o fenômeno em questão mas, se for conhecido um ponto P0 por onde passa o gráfico da função, determina-se facilmente o