Cálculo 1

L.M.C / 2009

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CÁLCULO 1
LIMITE
Queremos determinar o que acontece com f(x) à medida que x se aproxima indefinidamente de xo.
Exemplo:
f : ΙR → ΙR x → x2

À medida que x se aproxima de 2, f(x) se aproxima de 4.

Exemplo: O que acontece com x f ( x) =
?
x +1 −1

f(x) quando x se aproxima de 0, da função

0

x f(x) -0,01
1,994987

-0,001
1,999500

Neste caso dizemos que f ( x) =

x x +1 −1

-0,0001
1,999950

0,0001
2,000050

0,001
2,00500

0,01
2,0049



x lim  = 2 , que lemos como: o limite de

 x →0
 x +1 −1

quando x tende a 0 é 2.

Exemplo: Qual o limite da função f ( x) =

x quando x tende a zero. x 1 se x ≠ 0 f ( x) = 
não está definida se x = 0 lim f ( x) = 1 x →0

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Definição de limite
Se os valores de f(x) podem ser definidos tão perto de L quanto possível ao tomarmos x arbitrariamente próximos de xo, dizemos que:

lim f ( x) = L

x → xo

Que lemos: “O limite de f(x) quando x tende a xo é L”

Definição rigorosa de limite
Seja I um intervalo aberto ao qual pertence um número real a. Seja f uma função definida para x ∈ I − {a} . Dizemos que o limite de f(x), quando x tende a a, é L e escrevemos lim f ( x) = L , se para todo ε > 0 , existir δ >0 tal que se 0 < x − a < δ x→a então f ( x) − L < ε .

lim f ( x) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃ δ > 0 0 < x − a < δ ⇒ f ( x) − L < ε x→a Técnicas de cálculo de limites
(1) lim ( x) = xo x → xo

n
(2) lim ( x n ) = xo x → xo

(3) lim (k ) = k x → xo

sendo k uma constante

(4) lim (kx) = kxo x → xo

(5) lim ( f ( x) + g ( x) ) = lim f ( x ) + lim g ( x ) x → xo

x → xo

x → xo

(6) lim ( f ( x) ⋅ g ( x) ) =  lim f ( x)  ⋅  lim g ( x) 
 x→ x
  x→ x

x → xo
o
 o


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 f ( x) 
=
(7) lim  x → xo  g ( x ) 



 lim f ( x) 
 x→ x

o
 , se lim g ( x) ≠ 0 x → xo
 lim g ( x) 
 x→ x

o


(8) lim (k ⋅ f ( x) ) = k ⋅