Cálculo de Área a partir de Integrais

Seja R a região limitada pelo gráfico da função y = f (x), as retas x = a, x = b e o eixo x, sendo f (x) ≥ 0 para todo [a, b]. A área da região R é dado pela fórmula: b A= f (x)dx. a y y y = f (x) y = f (x) R O a b O x a x1 x2 xi xi+1 b = xn x DEMONSTRAÇÃO Tomemos números x0 , x1 , x2 , · · · , xn ∈ [a, b] tais que a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b e, x∗ , x∗ , · · · , x∗ tais que x∗ ∈ [xi−1 , xi ]. Então 1 2 n i n A ∼ (x1 − x0 ) f (x∗ ) + (x2 − x0 ) f (x∗ ) + · · · + (xn − xn−1 ) f (x∗ ) = = 1 2 n ∆x1 ∆x2 ∆xn 2 ∆xi f (x∗ ) i i=1 Cap.1: Aplicações da Integral Simples Sec.1: Área de regiões planares n ∴A= b ∆xi f (x∗ ) = i lim max ∆xi →0 i=1 f (x) dx a Resumindo: • Seja R a região delimitada pela curva y = f (x), f contínua em [a, b], pelas retas verticais x = a e x = b, e eixo x, então a área A de R é dado por b |f (x)|dx. A= a • Em particular se R é a região delimitada pela curva y = f (x), pelas retas verticais x = a e x = b, e eixo x, tais que f contínua em [a, b], f (x) ≤ 0 para a < x < c e f (x) ≥ 0 para c < x < b então a área A de R é dado por b A= a c |f (x)|dx = − b f (x)dx + a f (x)dx. c • Seja R a região delimitada pela curva x = g(y), g contínua em [c, d], pelas retas horizontais y = c e y = d, e eixo y, então a área A de R é dado por d A= c |g(y)|dy. • Seja R a região…

Seja R a região limitada pelo gráfico da função y = f (x), as retas x = a, x = b e o eixo x, sendo f (x) ≥ 0 para todo [a, b]. A área da região R é dado pela fórmula: b A= f (x)dx. a y y y = f (x) y = f (x) R O a b O x a x1 x2 xi xi+1 b = xn x DEMONSTRAÇÃO Tomemos números x0 , x1 , x2 , · · · , xn ∈ [a, b] tais que a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b e, x∗1 , x∗2 , · · · , x∗n tais que x∗i ∈ [xi−1 , xi ]. Então n A∼ = (x1 −…

funções deriváveis de x, e k, a e n são constantes 1) [ k ] ’ = 0 2) [ x ] ’ = 1 3) [ k . f ] ’ = k. f ’ 4) [ f  g] ’ = f ’  g ’ (sendo válida para mais de duas funções) 5) [ f . g] ’ = f ’ . g + f . g ’ 6) [ x n ] ’ = n . x n -1 7) [ u n ] ’ = n . u n – 1 . u ’ 8) 9) [ a u ] ’ = a u . ln a . u ' (para a > 0 e a  1) 10) [ e u ] ’ = u ' . eu 11) [ ] ’ = (para a > 0 e a  1e u > 0) 12) [] ’ = (para u > 0) 13) [ ] ’ = (para u >…

partícula move-se ao longo do gráfico da função com segunda derivada contínua x = x(t) com velocidade v = v(t), de classe C 1 e aceleração, a = a(t) em cada instante t. dv A aceleração da partícula é: a(t) = . Pelo Teorema: dt t t a(s) ds = t0 t0 dv ds = v(t) − v(t0 ); ds então: t (1) v(t) = a(s) ds + v(t0 ). t0 Logo, conhecendo a aceleração e a velocidade inicial da partícula, podemos obter a velocidade dx em cada instante t. A velocidade da…

ETAPA 3 1.10 Primeiro Passo * Áreas: talvez esta seja a mais óbvia aplicação para o cálculo de integrais, mas faremos algumas considerações sobre o estudo de áreas sob curvas que são importantes para que sejam evitados erros durante o processo de análise dos valores. Como consequência direta da definição da integral temos a área sob da curva a ser integrada e o eixo das abscissas , seja a função , considerando que a mesma pode assumir valores tanto positivos como negativos, o fato…

ETAPA 3 1.10 Primeiro Passo * Áreas: talvez esta seja a mais óbvia aplicação para o cálculo de integrais, mas faremos algumas considerações sobre o estudo de áreas sob curvas que são importantes para que sejam evitados erros durante o processo de análise dos valores. Como consequência direta da definição da integral temos a área sob da curva a ser integrada e o eixo das abscissas , seja a função , considerando que a mesma pode assumir valores tanto positivos como negativos, o fato…

gráfica de alguns destes assuntos e também gráficos das curvas em diversos sistemas de coordenadas. As aplicações em cálculo de área e volume também são abordadas. Os detalhes de cada capítulo seguem a seguir: O capítulo 1, noções básicos de matemática com Mathematica, objetiva em apresentação das necessidades e importância dos softwares computacionais desenvolvidos na era da informática, principalmente para temas especiais, tais como: cálculo, equações diferenciais, álgebra linear,…

símbolo de integração é ∫ (s de soma). 2. Conceito de primitiva Dizemos que uma função F ( x ) é primitiva de outra função f ( x ) , se F ' ( x ) = f ( x ) . Exemplo: F ( x ) = x 3 é primitiva de f ( x ) = 3x 2 , pois F ' ( x ) = f ( x ). Entretanto, ela não é única. São, também, primitivas de f ( x ) as seguintes funções: 2 F1 ( x ) = x 3 + 7 , F2 ( x ) = x 3 − 15 , F3 = x 3 + , etc. 5 Generalizando, se F ' ( x ) = f ( x ) , a expressão geral das primitivas de f ( x ) é F ( x ) + c…

deriváveis de x, e k, a e n são constantes 1) [ k ] ’ = 0 2) [ x ] ’ = 1 3) [ k . f ] ’ = k. f ’ 4) [ f  g] ’ = f ’  g ’ (sendo válida para mais de duas funções) 5) [ f . g] ’ = f ’ . g + f n . 6) [ x ] ’ = n x . g’ n -1 7) [ u n ] ’ = n . u n – 1 . u ’ ' f f 'g - f g ' 8)    g2 g 9) [ a u ] ’ = a u . ln a . u ' (para a > 0 e a  1) 10) [ e u ] ’ = u ' . eu 11) [ log ua ] ’ = u' (para a > 0 e a  1e u > 0) u  ln a…

Integração e Equações Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 1.2.2 1.3 Resolução de Problemas Práticos Ligados às Equações Diferenciais e Integração . . . . 11 Exercícios Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Técnicas de Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .…