Trabalhos feitos

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CÁLCULO II

A INTEGRAL

1. Integral Integração é a operação que nos dá a função, quando conhecemos sua derivada, ou a integral é a solução da equação diferencial. No cálculo, é encontrar uma função cuja derivada é dada. O símbolo de integração é ∫ (s de soma).

2. Conceito de primitiva Dizemos que uma função F ( x ) é primitiva de outra função f ( x ) , se F ' ( x ) = f ( x ) .
Exemplo: F ( x ) = x 3 é primitiva de f ( x ) = 3x 2 , pois F ' ( x ) = f ( x ). Entretanto, ela não é única. São, também, primitivas de f ( x ) as seguintes funções: 2 F1 ( x ) = x 3 + 7 , F2 ( x ) = x 3 − 15 , F3 = x 3 + , etc. 5 Generalizando, se F ' ( x ) = f ( x ) , a expressão geral das primitivas de f ( x ) é F ( x ) + c , onde “c” é uma constante arbitrária.

Teorema: Se F1 ( x ) e F2 ( x ) são primitivas de uma mesma função f ( x ) , então F1 ( x ) − F2 ( x ) = k ( ( k : const .) .
De fato, do exemplo anterior, F1 ( x ) − F2 ( x ) = ( x 3 + 7) − ( x 3 − 15) = 22 . 3. Integral indefinida Chama-se integral indefinida de uma função f ( x ) à expressão F ( x ) + c , onde F ( x ) é primitiva de f ( x ) e “ c ”, uma constante arbitrária. Simbolicamente,

∫ f ( x )dx = F ( x ) + c f ( x ) é denominada função a integrar.

lê-se: integral de f(x)dx

Obs: 1ª) A integral indefinida de uma função é o conjunto de todas as suas primitivas. 2ª) Como F ' ( x ) = f ( x ) , a expressão f ( x )dx é a diferencial de F ( x ) + c , o que nos permite concluir que a integração é a operação inversa da diferenciação. 3ª) Geometricamente, a integral indefinida é representada por uma família de curvas, paralelas entre si, que interceptam o eixo vertical no ponto de ordenada “c”.

2

ENGENHARIA DE PRODUÇÃO

CÁLCULO II

Alguns exemplos:  x3  x3 1º ) ∫ x dx = + c , pois d  + c = x 2 dx . 3  3  Obs: O exemplo anterior nos induz à uma das regras de integração que veremos à frente, qual seja x n +1 n + c , para n ≠ −1 ∫ x dx = n +1 x2 2º) ∫ xdx = +c 2 1 x −1 −2 3º) ∫ x dx = +c= − +c

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