O triunfo

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CONJUNTOS NUMÉRICOS
Símbolos Matemáticos

a, b, ... A, B, ...

variáveis e parâmetros conjuntos pertence a

=


igual diferente maior que

∈ ∉
⊂ ⊄ ⊃ ⊃ ∃ ∃ ∃| | ∀ ⇒ ⇔ ∪ ∩

>

não pertence

<

menor que

está contido não está contido contém não contém existe não existe existe apenas um / existe um único tal que todo, qualquer implica (se então) equivale (se e somente se)união de conjuntos interseção de conjuntos Conjunto vazio ou e negação (lógica)

≥ ≤
n!

maior ou igual a menor ou igual a fatorial somatório produtório infinito integral limite logaritmo logaritmo natural (neperiano) números naturais números inteiros números racionais números reais

Σ Π



lim log ln





~

Propriedades das desigualdades: a) Se a > b e b > c ⇒ a > c b) Sejaa > b : • • Se c >0 ⇒ a . c > b . c Se c < 0 ⇒ a . c < b . c Ex. a = 5 , b = 3 , c = 2 Ex. a = 5 , b = 3 , c = -2 Ex. a = 5 , b = 3 , c = 2

c) a > b ⇒ a + c > b +c , ∀ c ∈ R d) a > b e c > d ⇒ a + c > b + d e) Se a > b > 0 e c > d >0 ⇒ a . c > b. d Valor Absoluto O valor absoluto ou módulo de um número real é a distância entre ele e a origem, independentemente do sentido. Ex. a = 3 , b = 2 , c= - 3, d = - 4

 a , se a ≥ 0 a = − a , se a < 0
Propriedades do Valor Absoluto • • •

a ≥0
a2 = a
2

e

a =0



a =0

a2 = a

• a < b, b > 0 ⇔ - b < a < b •  a > b, b > 0 ⇔ a > b ou a < -b • | a | = b, b > 0 ⇔ a = b ou a = -b • Se a, b ∈ R ⇒ | a . b | = | a | . | b | • Se a, b ∈ R , b ≠ 0 ⇒ ou

a a = b b
(Desigualdade Triangular)

• Se a, b ∈ R ⇒ | a + b | ≤ | a |+ | b |

• Se a, b ∈ R ⇒ | a | - | b | ≤ | a - b | ≤ | a | + | b |

O CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS Introdução Tudo que será desenvolvido está baseado nas propriedades dos números reais. Acreditamos ser imprescindível que você tenha essas propriedades bem conhecidas. O conjunto dos números naturais ( ) é formado pelos números 0,1,2,... = { 0,1,2,3,...}. O conjunto dos números inteiros ( ) éformado pelos números naturais acrescido dos números - 1,-2,-3,... . = { .....,-3,-2,-1,0,1,2,3,....} O conjunto dos números racionais ( ) é formado pelos números na forma a/b, onde a e b são inteiros com b ≠ 0. = { .....,-3,-2,-1, −

1 1 ,0, ,1,2,3,....} 2 2
 

Utilizando o elemento genérico, podemos escrever, de modo mais simples , =  | a ∈ Z e b ∈ Z*  O conjunto dos números irracionais ( I) é formado pelos números cuja representação decimal infinita não é periódica. Ex:

a b

2 = 1,4142136...
3 = 1,7320508...

π = 3,1415926...
O conjunto dos números reais ( irracionais. ) é formado pelos números racionais e pelos números

= Q U I , sendo Q I I = ∅

Regras Básicas

Em

estão definidas duas operações: a adição e a multiplicação.

Para os números reais a e bassocia-se um único número real, a + b, chamado soma de a e b. Para os números reais a e b associa-se um único número real, a ⋅ b , chamado produto de a e b. As propriedades básicas das operações de adição e multiplicação são dadas a seguir:



Propriedade comutativa Quaisquer que sejam os números reais a e b, tem-se: a +b=b+a a. b = b. a



Propriedade associativa Quaisquer que sejam osnúmeros reais a, b e c, tem-se (a + b) + c = a + ( b + c) (ab)c = a(bc)



Elemento Neutro Existem únicos números reais, indicados por 0 e 1, tais que, para qualquer número real a, tem-se: a+0=a a.1=a



Elemento oposto e elemento inverso Existem únicos números reais, indicados – a ( chamado oposto) e a + (–a) = 0 a.

1 ( a ≠ 0) (chamado inverso), tal que a 1 =1 a



Propriedadedistributiva Quaisquer que sejam a,b e c reais, tem-se a (b + c ) = ab + ac (b + c) a = ba + ca

Partindo dessas propriedades, apresentaremos alguns resultados: Cancelamento se a + b = a + c então b = c se ab = ac e a ≠ 0 então b = c Anulamento a.0 = 0, para todo a pertencente a para quaisquer a e b de Regras de sinal para quaisquer a e b de –( –a) = a (–a)b = – (ab) = a(–b) (–a)(–b) = ab , se ab...
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