Algebra Linear

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Primeiro Trabalho de Algebra Linear
Engenharia El´trica - PUC Minas e a
Prof Daiane C. Soares
1. Considere a matriz A =

2 2x − 1
. Determine x para que A seja uma matriz x2 0

sim´trica. e 2. Fa¸a o que se pede. c 



1 −3 2
1 4 1 0
(a) Use as seguintes matrizes A = 2 1 −3, B = 2 1 1 1
4 −3 −1
1 −2 1 2


2 1 −1 −2 e C = 3 −2 −1 −1 para concluir uma importante propriedade de matrizes,
2 −5 −1 0 se AB = AC n˜o temos necessariamente B = C. (Confirme isso com esse exemplo). a 



3 2 −1
1 0 1
3  e B = 0 1 1. Determine a
(b) Considere agora as matrizes A = 1 6
2 −4 0
1 1 0 matriz C para que AB = AC. Qual a diferen¸a com rela¸ao ao item (a)? Por que c c˜ vocˆ acha que isso acontece? e 3. Determine se as afirmativas abaixo s˜o verdadeiras ou falsas. Justifique as afirmaa tivas verdadeiras e apresente contra-exemplos para as falsas.
( ) (A + B)2 = A2 + 2AB + B 2 e (A + B)(A − B) = A2 − B 2 .
( ) (−A)(−B) = −(AB).
( ) Se pudermos efetuar o produto A.A ent˜o A ´ uma matriz quadrada. a e
( ) (k1 A)(k2 B) = (k1 k2 )(AB).
( ) Se A for uma matriz 3 × 3 ent˜o det(2A) = 2 det(A). a ( ) Se A e B forem matrizes quadradas de mesmo tamanho e tais que det(A) = det(B) ent˜o det(A + B) = 2 det(A). a 4. Se A =

3 −2
, encontre B tal que B 2 = A.
−4 3

5. Resolva os sistemas de equa¸oes lineares abaixo: c˜ (a)

x+y+z =4
2x + 5y − 2z = 3


2x − y + 3z = 11


4x − 3y + 2z = 0
(b)
x + y + z = 6



3x + y + z = 4
1


x + 2y + 3z = 0

(c) 2x + y + 3z = 0


3x + 2y + z = 0

6. Reduza

1
2
(a) A =
3

0
2
(b) B =
2

0
1
(c) C = 
3
2

a forma escada reduzida por linhas:

−2 3 −1
−1 2 3 
1 2 3

1 3 −2
1 −4 3 
3 2 −1

2 2
1 3

−4 2
−3 1


x + y − az = −2

7. Dado o sistema 2x − y + z = 1


3x + 5y − 3z = −6

Determine o valor de a para que:

(a) o sistema seja poss´ e indeterminado. ıvel (b) o sistema