Vetores

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FACULDADE ASSIS GURGACZ – FAG

Vetores
Vetores no Espaço
Espaço vetorial
Subespaço vetorial
Combinação Linear
Dependência e Independência Linear
Base de um Espaço Vetorial
Transformações Lineares

Álgebra Linear e Geometria Analítica
Engenharia

Profª. Alessandra S. F. Misiak

Cascavel – 2009

Espaço Vetorial
Vetor no Plano
1 - O VETOR
Considere o segmento orientado AB nafigura abaixo.

Observe que o segmento orientado AB é caracterizado por três aspectos bastante definidos:
* comprimento (denominado módulo)
* direção
* sentido (de A para B)
1. A direção é a da reta que contém o segmento.
2. O sentido é dado pelo sentido do movimento.
3. O módulo é o comprimento do segmento.
Chama-se vetor ao conjunto infinito de todos os segmentosorientados eqüipolentes a AB, ou seja, o conjunto infinito de todos os segmentos orientados que possuem o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido de AB.
Ou ainda, um vetor (geométrico) no plano R² é uma classe de objetos matemáticos (segmentos) com a mesma direção, mesmo sentido e mesmo módulo (intensidade).
Assim, a idéia de vetor nos levaria a uma representação do tipo:
Na prática,para representar um vetor, tomamos apenas um dos infinitos segmentos orientados que o compõe.
Sendo u um vetor genérico, o representamos pelo símbolo:
Para facilitar o texto, representaremos o vetor acima na forma em negrito u . Todas as representações de letras em negrito neste arquivo, representarão vetores. O módulo do vetor u, será indicado simplesmente por u, ou seja, a mesma letraindicativa do vetor, sem o negrito. |
1.1 - O VETOR OPOSTO
Dado o vetor u , existe o vetor - u , que possui o mesmo módulo e mesma direção do vetor u , porém , de sentido oposto.
1.2 - O VETOR UNITÁRIO (VERSOR)
Chamaremos de VERSOR ou VETOR UNITÁRIO, ao vetor cujo módulo seja igual à unidade, ou seja:
| u | = u = 1.
1.3 - O VETOR NULO
Vetor de módulo igual a zero, de direção e sentidoindeterminados.
Notação: 0
2 - A PROJEÇÃO DE UM VETOR SOBRE UM EIXO
Veja a figura abaixo, na qual o vetor u forma um ângulo com o eixo r.

Teremos que o vetor ux será a componente de u segundo o eixo r , de medida algébrica igual a
ux = u . cosθ. Observe que se θ = 90º, teremos cosθ = 0 e, portanto, a projeção do vetor segundo o eixo r, será nula.
3 - A NOTAÇÃO DE GRASSMANN PARA OS VETORESConsidere o vetor u na figura abaixo, sendo A a extremidade inicial e B a extremidade final do vetor.

Grassmann (matemático alemão - 1809/1877) interpretou a situação, como o ponto B obtido do ponto A, através de uma translação de vetor u .
Assim, pode-se escrever:
B = A + u e, portanto, pode-se escrever também: u = B - A
Esta interpretação, um vetor enxergado como uma diferença de doispontos permitirá a simplificação na resolução de questões, conforme veremos na seqüência.
4 - UM VETOR NO PLANO COMO UM PAR ORDENADO
Considere o vetor u, representado no plano cartesiano Oxy, conforme figura abaixo:

Pela notação de Grassmann, poderemos escrever:
P = O + u
u = P - O
Se considerarmos que o ponto O é a origem do sistema de coordenadas cartesianas e, por conseguinte,
O(0, 0)e que as coordenadas de P sejam x (abcissa) e y (ordenada), teremos o ponto P(x, y).
Substituindo acima, vem:
u = P - O = (x, y) - (0, 0) = (x - 0 , y - 0 ) = (x, y).
Portanto,
u = (x, y)
Logo, o vetor u, fica expresso através de um par ordenado, referido à origem do sistema de coordenadas cartesianas.
Neste caso, o módulo do vetor u (aqui representado por u, conforme convenção adotadaacima), sendo a distância do ponto P à origem O, será dado por:

5 - UM VETOR NO PLANO, EM FUNÇÃO DOS VERSORES DOS EIXOS COORDENADOS
Existem dois vetores unitários, que formam a base canônica para o espaço R², dados por:
i=(1,0) e j=(0,1)
Vimos acima que um VERSOR, é um VETOR de módulo unitário. Vamos associar um versor a cada eixo, ou seja: o versor i no eixo dos x e o versor j no eixo dos y ,...
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