Vetores

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ÁLGEBRA LINEAR

Grandezas Vetoriais:
São aquelas que além do valor numérico (módulo) e da unidade, necessita de
direção e sentido.
Exemplos: Velocidade de um corpo, Força, aceleração, Impulso,...

UM VETOR NO PLANO, EM FUNÇÃO DOS VERSORES DOS EIXOS
COORDENADOS

Vimos acima que um VERSOR, é um VETOR de módulo unitário. Vamos
associar um versor a cada eixo, ou seja: o versor i no eixodos x e o versor j no
eixo dos y , conforme figura abaixo:
Vetor:
A forma para indicar uma grandeza vetorial é a utilização de um ente matemático
chamado VETOR. Sua representação gráfica é feita através de um segmento
orientado. Veja a figura abaixo:
O par ordenado de versores (i, j) constitui o que chamamos de BASE do plano
R2, ou seja, base do plano cartesiano Oxy.
Verifica-se que um vetoru = (x, y) , pode ser escrito univocamente como:
u = x.i + y.j
Analogamente, se em vez do plano R2, estivéssemos trabalhando no espaço
R3, poderíamos considerar os versores i, j e k , respectivamente dos eixos Ox,
Oy e Oz , conforme figura abaixo, e a representação do vetor u, no espaço
seria:
u = (x, y, z) = x.i + y.j + z.k
Analogamente, o terno (i, j, k) , será a BASE do espaço R3 .
Omódulo do vetor u = x.i + y.j + z.k será dado por:
A demonstração desta fórmula é fácil, quando soubermos determinar o produto
interno de vetores, conforme você mesmo confirmará na seqüência deste
trabalho
Vamos demonstrar o teorema de Pitágoras, utilizando o conceito de produto interno de
vetores.
Seja o triângulo retângulo da figura abaixo:
É óbvio que: w = u + v
Quadrando escalarmente aigualdade vetorial acima, vem:
w2 = u2 + 2.u.v + v2
Dos itens (b) e (c) acima, concluímos que w2 = w2 , u2 = u2 , v2 = v2 e u.v = 0
(lembre-se que os vetores u e v são perpendiculares).
Assim, substituindo, vem:
w2 = u2 + 2.0 + v2 , ou, finalmente: w2 = u2 + v2 (o quadrado da hipotenusa é
igual à soma dos quadrados dos catetos).
Operações com Vetores
Existem duas operações básicasenvolvendo vetores: a adição e a multiplicação por um
escalar, isto é, por um número real. Esta seção é dedicada a estudar estas operações e as
suas principais propriedades.
O módulo da resultante pode ser calculado pela expressão
matemática abaixo.
Adição de Vetores
Todos conhecemos o princípio que afirma que não podemos somar maçãs com laranjas.
Este mesmo princípio pode ser aplicado paraentendermos a definição de adição de
vetores. Suponha que temos maçãs e laranjas que precisam ser estocadas em caixas
separadas. Para sabermos quantas maçãs e quantas laranjas existem em cada caixa,
precisamos de um par de números. Imagine este par de números como um vetor, isto é,
v = < > , onde = número de maçãs e = número de laranjas. Embora
não possamos adicionar e é fácil entender que podemosadicionar um vetor v a
um outro vetor w , componente a componente. Para entender essa afirmação, imagine
que um amigo nosso também estocou suas maçãs e laranjas em caixas separadas e
representou a quantidade de cada fruta por um vetor w = < > , onde =
número de maçãs e = número de laranjas. Para sabermos quantas maçãs e quantas
laranjas temos juntos, basta adicionarmos o número de maças elaranjas estocadas nas
respectivas caixas, isto é, basta calcularmos o vetor v + w = < >. A
componente do vetor v + w, representará o número total de maçãs e a
componente , o número total de laranjas.
A adição de vetores pode ser interpretada geometricamente.
Neste sentido, a soma de dois vetores v e w é um outro vetor z = v + w que pode ser
obtido unindo-se a extremidade inicial do vetor w, àextremidade final do vetor v, isto é,
ao final de v, coloque o início de w. Assim, z = v + w vai do começo de v ao final de w,
conforme é ilustrado no desenho abaixo.
Multiplicação por escalar
Adicionando-se o vetor v a ele mesmo, obtemos um vetor cujo comprimento é o
dobro do vetor original e cujas componentes são < >. No exemplo das
maçãs e laranjas esta operação é equivalente a dobrar a...
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