Vetores

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1 VETOR

vetor é compreendido a partir de um segmento orientado. Onde, dois ou mais segmentos orientados de mesmo comprimento, mesma direção (são paralelos ou colineares) e mesmo sentido são representantes de um mesmo vetor v. (Fig.1)

2 VETORES NO PLANO E VETORES NO ESPAÇO

O estudo dos vetores em geral é relacionado a sua representação geométrica que se caracteriza num segmento de retaorientado como vimos até aqui. Mas, há outra forma de representá-los. Assim, vamos estudar os segmentos orientados relacionados com os sistemas de eixos cartesianos do plano (R2) e do espaço (R3).

3 EXPRESSÃO ANALÍTICA DE UM VETOR NO PLANO (R2)

O conjunto R2 = R x R = {(x,y), x, y R} é interpretado geometricamente como sendo o plano xOy do sistema cartesiano ortogonal. É o conjunto formadopor todos os vetores com duas
coordenadas reais x e y. Vetores que pertencem ao R² são conhecidos como pares ordenados de números reais. Geometricamente, todo vetor v= AB desse plano, tem sempre um representante equivalente OP , cuja origem é a origem do sistema cartesiano (0,0).


No estudo algébrico dos vetores, utiliza-se em geral, os vetores v=OP , ditos vetores noplano e que são vetores definidos por um ponto extremo do segmento com origem no ponto (0,0).

3.1 VETOR DEFINIDO POR DOIS PONTOS: VETOR LIVRE

Inúmeras vezes um vetor é representado por um segmento orientado que não parte da
origem do sistema. Nestes casos, temos os vetores livres. Por exemplo, consideramos o vetor AB de origem no ponto A(x1, y1) e extremidade em B(x2,y2). O vetor AB é umvetor livre.
Como, já se afirmou anteriormente, no estudo algébrico dos vetores, utiliza-se em geral, os vetores definidos por um ponto que é o extremo do segmento com origem no ponto (0,0).
A partir de um vetor livre v = AB podemos encontrar o seu vetor equivalente, definido por um ponto, que parte da origem do sistema (0,0). Para isso, fazemos:
AB B A
AB x2, y2x1, y1)
AB x2 x1, y2 y1) = v (vetor definido por um ponto)

Representação Geométrica

Vetor Livre



3. 2 Expressão analítica de um vetor no espaço (R3)

Na Geometria Analítica analisa-se o vetor e sua representação a partir de uma base{i, j } = {(1,0), (0,1)} quando os vetores são vetores do plano e a partir de uma base canônica representada por {i, j, k} = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} quando os vetores são vetores do espaço, onde é estabelecida a correspondência biunívoca entre vetores no espaço com o vetor (x, y,z) de números reais.
Consideremos estes três vetores representados com origem no mesmo ponto O e por este pontotrês retas como mostra a figura abaixo.

A reta com a direção do vetor i é o eixo dos x (abscissa), a reta com direção do vetor j é o eixo do y (ordenada) e a reta com a direção do vetor K é o eixo dos z (das cotas: significa altura no espaço). As setas indicam o sentido positivo de cada eixo, que são chamados eixos coordenados.
Cada dupla de eixos determina um plano coordenado. Portanto, temostrês planos coordenados: o plano xy, xz ou yz. As figuras abaixo dão uma idéia dos planos.

Estes três planos se interceptam segundo os três eixos dividindo o espaço em oito regiões.

4 OPERAÇÕES COM VETORES

4. 1 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE VETORES

Algebricamente a adição de dois vetores se define pela adição de seus componentes (coordenadas), um a um. Por sua vez, a diferença de dois vetoresse define pela adição do primeiro vetor pelo oposto do segundo vetor.
Observe que: Dois vetores podem ser adicionados se e somente se eles tiverem a mesma dimensão. Para somar dois vetores, basta somar individualmente cada elemento deles. O vetor resultante será da mesma dimensão dos vetores originais. Simbolicamente, temos que, se v = u+ w, então vi = ui + wi, para todo i.
Assim, para os...
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