Varais

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LICENCIATURA EM MATEMÁTICA


PROJETOS EM MODELOS MATEMÁTICOS IV


ELABORANDO MODELOS MATEMÁTICOS: QUAL É O MELHOR VARAL?























As figuras 1 e 2 apresentam dois modelos de varais de roupas para apartamento. Os dois custam a mesma coisa, são igualmente resistentes, ocupam o mesmo espaço e somente diferem na disposição dos fios para estenderroupas. A parte superior dos varais é, em ambos os casos, um quadrado de 1 metro de lado. O varal A tem o fio disposto em 9 varetas paralelas e eqüidistantes, enquanto o varal B tem o fio disposto em 4 quadrados concêntricos com a mesma distância entre eles do que os fios paralelos do varal A.
O que nos interessa saber é qual dos dois modelos é mais eficaz ou útil, no sentido de que tem maisextensão de fio estirado e, portanto, permite estender mais roupas.
Na loja, também são vendidos varais de outros tamanhos: os maiores são quadrados de 1,25 metros de lado (com 11 varetas, os do tipo A, e 5 quadrados, os do tipo B) e os menores , de 75 cm (com 7 varetas ou 3 quadrados).
[pic]
Este problema foi extraído do artigo de J. Kilpatrick: “ Problem Formulating: Where do GoodProblems como from? – London.












Problema 1: Sabendo que os dois variais têm 1 metro de lado, qual comprimento é maior: a soma do comprimento dos 9 segmentos paralelos do varal A ou a dos perímetros dos 4 quadrados concêntricos do varal B? O que acontece se os quadrados exteriores dos variais medirem 1,25 m? E se medirem 0,75 m?

L = 1 metro
9 segmentos paralelos ou 4quadrados concêntricos?

[pic]

Para o de segmentos paralelos temos:
C (comprimento total) = 9 x 1 metro = 9 metros.

Como a distância entre os varais é o mesmo nos dois casos:
d = 1 metro : 8 = 0,125 m

Então: P1 (perímetro do quadrado 1) = 4 x 1 = 4m.
P2 (perímetro do quadrado 2) = 4 x (1 – (2 x 0,125)) = 3m
P3 (perímetro do quadrado 3) = 4 x (1 – (4 x 0,125)) = 2m
P4 (perímetro doquadrado 4) = 4 x (1 – (6 x 0,125)) = 1m
Pt (perímetro total) = P1 + P2 + P3 + P4 = 4 + 3 + 2 + 1 = 10m
O varal com 4 quadrados concêntricos é mais vantajoso que o de 9 segmentos paralelos em 1 metro.

Para L = 1,25 m
11 varetas ou 5 quadrados?

[pic]

C = 1,25 x 11 = 13,75 m

d = 1,25 : 10 = 0,125 m

P1 = 4 x 1,25 = 5m
P2 = 4 x (1,25 – (2 x 0,125)) = 4m
P3 = 4 x (1,25 – (4 x 0,125))= 3m
P4 = 4 x (1,25 – (6 x 0,125)) = 2m
P5 = 4 x (1,25 – (8 x 0,125)) = 1m
Pt = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15m

O varal com 5 quadrados concêntricos é mais vantajoso que o de 11 varetas em 1,25m.






Para L = 0,75m
7 varetas ou 3 quadrados?

[pic]

C = 0,75 x 7 = 5,25m

d = 0,75 : 6 = 0,125m

P1 = 4 x 0,75 = 3m
P2 = 4 x (0,75 – (2 x 0,125)) = 2m
P3 = 4 x (0,75 – (4 x 0,125)) =1m
Pt = 3 + 2 + 1 = 6m

O varal com 3 quadrados concêntricos é mais vantajoso que o de 7 varetas em 0,75m.









Problema 2: Vamos supor que os dois varais são quadrados de lado a, que no varal A há n segmentos paralelos eqüidistantes e que no varal B há [pic] quadrados concêntricos se n for par, e [pic] quadrados se n for ímpar . Qual é maior a soma do comprimento dos segmentosparalelos do varal A ou a dos perímetros dos quadrados concêntricos do varal B?

[pic]

Vamos generalizar o caso de L = 1 m = a
Sendo 9 varetas, então temos n ímpar e [pic] quadrados, portanto 4 quadrados.

C (comprimento total) = a . n
d = [pic]

Vamos resolver utilizando os quadrados do centro para fora.
P1 = 4 x [pic]
P2 = 4 x [pic]
P3 = 4 x [pic]
P4 = 4 x [pic]

Pt = P1 + P2 +P3 + P4
Pt = 4 x [pic] + 4 x [pic] + 4 x [pic] + 4 x [pic]
Pt = 4 x [pic] (1 + 2 + 3 + 4)
O último termo é o 4 que é o número de quadrados, então para n varetas o último termo da somatória 1 + 2 + 3 + 4 +.... é [pic].
Sabendo que 1 + 2 + 3 + 4 + ....+ n = [pic]
Então, 1 + 2 + 3 + 4 + ....+ [pic] = [pic] = [pic] = [pic]
Pt = 4 x [pic].[pic]

|Pt = a.(n+1) |...
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