Varais

LICENCIATURA EM MATEMÁTICA

PROJETOS EM MODELOS MATEMÁTICOS IV

ELABORANDO MODELOS MATEMÁTICOS: QUAL É O MELHOR VARAL?

As figuras 1 e 2 apresentam dois modelos de varais de roupas para apartamento. Os dois custam a mesma coisa, são igualmente resistentes, ocupam o mesmo espaço e somente diferem na disposição dos fios para estender roupas. A parte superior dos varais é, em ambos os casos, um quadrado de 1 metro de lado. O varal A tem o fio disposto em 9 varetas paralelas e eqüidistantes, enquanto o varal B tem o fio disposto em 4 quadrados concêntricos com a mesma distância entre eles do que os fios paralelos do varal A. O que nos interessa saber é qual dos dois modelos é mais eficaz ou útil, no sentido de que tem mais extensão de fio estirado e, portanto, permite estender mais roupas. Na loja, também são vendidos varais de outros tamanhos: os maiores são quadrados de 1,25 metros de lado (com 11 varetas, os do tipo A, e 5 quadrados, os do tipo B) e os menores , de 75 cm (com 7 varetas ou 3 quadrados).
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Este problema foi extraído do artigo de J. Kilpatrick: “ Problem Formulating: Where do Good Problems como from? – London.

Problema 1: Sabendo que os dois variais têm 1 metro de lado, qual comprimento é maior: a soma do comprimento dos 9 segmentos paralelos do varal A ou a dos perímetros dos 4 quadrados concêntricos do varal B? O que acontece se os quadrados exteriores dos variais medirem 1,25 m? E se medirem 0,75 m?

L = 1 metro
9 segmentos paralelos ou 4 quadrados concêntricos?

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Para o de segmentos paralelos temos:
C (comprimento total) = 9 x 1 metro = 9 metros.

Como a distância entre os varais é o mesmo nos dois casos: d = 1 metro : 8 = 0,125 m

Então: P1 (perímetro do quadrado 1) = 4 x 1 = 4m. P2 (perímetro do quadrado 2) = 4 x (1 – (2 x 0,125)) = 3m P3 (perímetro do quadrado 3) = 4 x (1 – (4 x 0,125)) = 2m P4 (perímetro do quadrado