Tópicos de matemática

Tópicos de Matemática
Enunciado e correcção do trabalho presencial - 22/11/2005 Havia dois enunciados, cada um com duas perguntas. 1. • Enunciado 1. Encontre conjuntos X e Y contidos em R tal que X∩]0, 2] ∼ Y ∩]0, 2], X∪]0, 2] ∼ Y ∪]0, 2] e X ∼ Y.

• Enunciado 2. Encontre conjuntos A e B contidos em R tal que A ∩ R+ ∼ B ∩ R+ , 2. Defina bijecções entre • Enunciado 1. a) ]1, 3[ e ]1, +∞[; b) ]1, 3[ e [1, +∞[. • Enunciado 2. a) ]2, 7[ e R; b) ]2, 7[ e R \ {0}. A ∪ R+ ∼ B ∪ R+ e A ∼ B.

Respostas: 1. Enunciado 1. • X = ∅ e Y = {0}. Neste caso X∩]0, 2] = Y ∩]0, 2] = ∅ e X∪]0, 2] e Y ∪]0, 2] são equipotentes pois são dois intervalos não degenerados, a saber, ]0, 2] e [0, 2]. Mais geralmente • X um subconjunto finito qualquer contido em R\]0, 2] e Y um conjunto numerável ou finito com um número de elementos diferente do de X. Neste caso X∩]0, 2] = Y ∩]0, 2] = ∅ e X∪]0, 2] e Y ∪]0, 2] são equipotentes (basta usar a Proposição 2.11, alínea h), da sebenta) e X e Y não são equipotentes. De facto poderia escolher X e Y dois conjuntos não equipotentes e contidos em R\]0, 2].

Enunciado 2. Basta substituir na resposta dada acima X por A, Y por B, e ]0, 2] por R+ . 2. Note-se que, usando as 4 funções definidas na demonstração do Teorema 2.18 posso definir bijecções entre dois quaisquer intervalos abertos, limitados ou não. Isto responderá à alínea a). Para a alínea b) usarei argumentos usados muitas vezes para encontrar uma bijecção entre R e R \ {0} e entre ]1, +∞[ e [1, +∞[. Usando a alínea a) e estas últimas bijecções resolvo a alínea b).

a) Começo por definir bijecções entre ]1, 3[ e ]0, 1[, ]2, 7[ e ] − π , π [, ]0, 1[ e ]1, ∞[ e entre ] − π , π [ 2 2 2 2 e R. Por exemplo α : ]1, 3[ x γ : ]0, 1[ x Deste modo, as funções γ ◦ α : ]1, 3[ −→ ]1, +∞[ 2 x → x−1 são funções nas condições pedidas. b) As funções δ ◦ β : ]2, 7[ x −→ → tg π 5 (x

−→ →

1 2 (x

]0, 1[ − 1)

β : ]2, 7[ x

−→ →

π 5 (x

] − π, π[ 2 2 − 2) −

π 2

−→ ]1, +∞[ 1 → x

δ : ] − π , π