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Tópicos de Matemática Aplicada para os cursos de Engenharia

Eurípedes Machado Rodrigues

MATRIZES 1. Definição Matriz é uma função que associa pares ordenados (i, j) a números reais aij. No entanto, podemos dar uma noção intuitiva como sendo uma tabela, ou seja: Matriz de ordem m x n (lê-se: m por n) é uma tabela de m . n número reais, dispostos, ordenadamente, em m linhas (horizontais) e ncolunas (verticais). Podemos nomear uma matriz por uma letra maiúscula do nosso alfabeto. Assim, Am x n é a matriz A de ordem m x n. Os elementos aij de uma matriz são dispostos, ordenadamente, em linha de ordem i e coluna de ordem j, cercados por: ( ) ou [ ] ou || ||.

Exemplo:

 a11 a12 ...   a21 a22 ... A=   a  m1 am2 ...

a1n   a2n   ou  amn   a11 a21 a12 a22 ... ... a1na2n







 a11 a12 ... a a22 ... 21 A=    am1 am2 ... 

a1n  a2n   ou ainda,   amn  

















am1 am2 ...

a11 representa o elemento da 1ª linha (horizontal) e 1ª coluna (vertical); a12 representa o elemento da 1ª linha (horizontal) e 2ª coluna (vertical); a1n representa o elemento da 1ª linha (horizontal) e nª coluna (vertical); a21representa o elemento da 2ª linha (horizontal) e 1ª coluna (vertical); e assim, por diante. Deste modo, podemos representar a matriz A por: A = (aij)m x n 2. Notação: a) Explícita – Os elementos são identificados diretamente na matriz. Exemplo: A =  

1 3 2   0 − 1 4  

A é uma matriz de ordem 2 x 3 onde: a11 = 1, a12 = 3, a13 = 2, a21 = 0, a22 = −1 e a23 = 4, todos obtidosaleatoriamente como exemplo. b) Implícita – Os elementos são determinados por uma propriedade característica dos mesmos. Essa propriedade recebe o nome de Lei de formação, que nada mais é do que uma expressão matemática que determina o valor de cada elemento da matriz. Exemplo: A = (aij)2 x 3 , tal que aij = 2i + j, ∀i ∈ {1; 2} e ∀j ∈ {1; 2; 3} Temos: A =  

 a11 a12  a21 a22

a13   a23  

Osvalores dos elementos aij serão determinados pela lei aij = 2i + j, ou seja: a11 = 2 . 1 + 1 = 2 + 1 = 3 a21 = 2 . 2 + 1 = 4 + 1 = 5 1


amn

A=

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Eurípedes Machado Rodrigues

a12 = 2 . 1 + 2 = 2 + 2 = 4 a13 = 2 . 1 + 3 = 2 + 3 = 5 Logo, A =  

a22 = 2 . 2 + 2 = 4 + 2 = 6 a23 = 2 . 2 + 3 = 4 + 3 = 7

3 4 5    5 6 7 NOTA: A matriz Am x n é dita: Retangular se, e somente se, m ≠ n Quadrada se, e somente se, m = n Matriz Linha se, e somente se, m = 1 Matriz Coluna se, e semente se, n = 1 OBS.: Toda matriz quadrada apresenta duas diagonais:

 a11 a12 ...   a21 a22 ...   a  m1 am2 ...

DS (Diagonal Secundária)

DP (Diagonal Principal)

a1n   a2n    amn  

 a11 a12   a21 a22 a  31a32
DS

a13   a23  a33  
DP







Note que os elementos da DP têm a propriedade de apresentarem o i = j 3. Classificação das matrizes (tipos de matrizes) 3.1. Matriz Oposta – Dada a matriz A = (aij)m oposta. Exemplo: A=  
x n



, a matriz −A = (−aij)m

x n

é a sua

1 3 2   0 − 1 4  

−A =  

− 1 − 3 − 2  (lê-se: Oposta de A) 0 1 − 4  

3.2.Matriz Nula – É toda matriz cujos elementos são todos nulos (iguais a zero). É representada pelo símbolo Om x n Exemplo; O2 x 3 =  0 0 0   

0 0 0

3.3. Matriz Transposta – Dada a matriz A = (aij)m x n , a matriz At = (aji)n x m é a sua transposta. “Para obter a transposta de uma matriz dada, basta trocar, ordenadamente, as linha por colunas.”  1 2 3   Exemplo: A =     4 5 6 1 4    A = 2 5   3 6   
t

(lê-se: transposta de A)
x n,

3.4. Matriz Identidade ou Matriz Unidade – É toda matriz quadrada In = (aij)n definida por: aij =  Exemplos:

1, se i = j 0, se i ≠ j
2

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Eurípedes Machado Rodrigues

 a11 a12   1 0   = , I2 =  a a22   0 1    21  

 a11 a12  I3 =...
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