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Análise Combinatória

1. Princípio Fundamental da Contagem

ENUNCIADO DO PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM
Se um evento pode ocorrer de n1 maneiras distintas e, a seguir, um segundo evento pode ocorrer de n2 maneiras distintas, e assim sucessivamente, até um k-ésimo evento que pode ocorrer de nk maneiras distintas, então o número de maneiras distintas em que os k eventos podemocorrer sucessivamente é n1.n2.....nk.


Exemplo1 - Resolva os seguintes problemas:
- Para o Campeonato Mineiro, o time do Cruzeiro dispõe de dois modelos de camisa e três de calção, para se diferenciar do time adversário. Com essas camisas e calções, de quantos uniformes distintos o Cruzeiro dispõe?


- Na “Copa do Brasil”, exige-se que, além de camisa e calção sejam distintos, tambémas meias o sejam. Sendo assim, para participar da Copa do Brasil o Cruzeiro teve de providenciar duas cores distintas de meias. Qual será, portanto, o número de uniformes diferentes que o Cruzeiro disporá para esta copa?


Uma forma de visualizarmos o que ocorre nos exemplos acima é usando o diagrama de árvore.


Exemplo2- Na final dos 100 metros rasos da Olimpíada de 96, oito atletasdisputavam as três primeiras posições para obter uma medalha. De quantas maneiras diferentes era possível se organizar o podium com os três primeiros colocados?


Exemplo3- O almoxarifado de uma empresa adotou um código para classificar os produtos em estoque. O código é formado por uma letra do nosso alfabeto e três algarismos, sendo que o primeiro algarismo tem de ser par. Quantos são osdiferentes códigos que eles poderão dispor? E se não for permitida a repetição?



Exercícios:
1) Uma moeda é lançada 3 vezes. Qual o número de sequências possíveis de cara e coroa?
2) A turma M.26 tem 19 alunos. Um deles será escolhido para ser representante de turma e outro para vice. Qual é o número de possíveis disposições das pessoas nas vagas?
3) De quantas maneiras podemosresponder a 10 perguntas de um questionário, cujas respostas para cada pergunta são: sim ou não?
4) Chamamos de anagrama a um agrupamento de letras formado a partir de um conjunto de letras, tendo ou não sentido a palavra formada por esse agrupamento. Desta forma determine quantos são os anagramas formados com as letras da sigla UFMG.




2. PERMUTAÇÃO

Chamaremos de Permutação atodos agrupamentos de n elementos formados com os n elementos de um conjunto. O número de permutações será calculado como na questão acima, ou seja,
Pn = n.(n-1).(n-2).....3.2.1

Exemplo4- Com um grupo de cinco alunos, de quantas maneiras distintas posso fazer uma fila com três alunos? Com quatro? E com cinco?


Exemplo5- Sendo o conjunto A={a1, a2, a3,.......,an}, quantassequências distintas poderemos fazer com todos os seus elementos?


Exercícios
5) Seis pessoas, sendo três homens e três mulheres, formam uma fila. Verifique de quantas maneiras diferentes essa fila pode ser formada se:
a) não houver qualquer restrição;
b) as mulheres forem as primeiras da fila;
c) duas determinadas pessoas sempre estiverem juntas;
d) as mulheres ficarem todasjuntas;
6) Quantos anagramas podemos fazer com a palavra ASTRIDE, que:
a) começam com vogal;
b) T e R aparecem juntas;
c) começam com DE;


Chamamos de Fatorial de um número n o valor m determinado pela expressão:
n! = n.(n-1).(n-2).(n-3).........3.2.1 para n 2
1! = 1
0! = 1


Ex.: 3! = 3.2.1 = 6
6! = 6.5.4.3.2.1 = 720

Exercícios:
7)Simplifique as expressões abaixo:
a) e)
b) f)
c) g)
d)





3. ARRANJO

Chamaremos a partir de agora de Arranjo a todos agrupamentos de p elementos formados com os n elementos de um conjunto A, ou seja, serão arranjos de n, p a p. Determinamos o número de arranjos possíveis, através da expressão simplificada obtida acima.



Exemplo6-...
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