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Cálculo Numérico

Interpolação

Introdução:
O problema da interpolação consiste em substituir funções intricadas por um conjunto de funções mais simples, de tal forma que muitas operações comuns, como a diferenciação e a integração, possam ser realizadas mais facilmente. A interpolação consiste basicamente em encontrar uma função que seja a expressão lógica de determinadospontos de uma função desconhecida, ou seja, conhecendo-se (x1 , y1), (x2 , y2).....(xn , yn) de uma função desconhecida poderemos calcular o valor numérico intermediário da função num ponto não tabelado com certo grau de erro.

Pontos de Amarração:
Os pontos de amarração são os pontos em que a função substituta conterá da função tabela, no qual será construída uma função para um respectivointervalo. Para se fazer escolha de uma infinidade de funções que venham assumir determinados pontos faz-se na verdade a escolha de uma função onde se possa trabalhar com simplicidade, deste modo a função mais simples um polinômio.
Obs: Nos pontos de amarração f(x) é igual a g(x), g(x) pode ser chamada função substituta.

A Interpolação polinomial:
As funções polinomiais são de maior aproveitamentopara as interpolações por serem de mais fácil operação com derivação e integração dando também resultados na forma de polinômios.
2 pontos (polinômio de 1º grau) 3 pontos (polinômio de 2º grau) 4 pontos (polinômio de 3º grau)

Para (n+1) pontos, existe um e somente um polinômio de grau não superior a n.

Teorema Fundamental da Interpolação Polinomial:

Uma função f(x) é contínua numdeterminado intervalo, esta função poderá ser substituida no interior deste intervalo por um polinômio de grau não superior a “n”, conforme a seguinte expressão:

[pic]




Características do Polinômio:

No polinômio [pic]desejamos calcular f(x) para um determinado valor. Torna-se mais simples calcular f(x) pela teoria de Divisão de Polinômios do que fazendo as substituições diversasonde se terá maior trabalho quanto as aperações de multiplicação.
Dado o polinômio [pic](
[pic], evidenciando (x-x1) teremos:
[pic]



[pic]
logo [pic] onde Q(x) é um polinômio de 3º grau e tambem é o quociente da divisão de f(x) por (x-x1), ficando f(x1) o resto (R) desta divisão.
Chamamos agora o polinômio de 3º grau de: [pic], teremos:
[pic], logo
[pic]

|[pic] |[pic]|[pic] |[pic] |[pic] |
| |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |

Exemplo: Dada a equação [pic] desejamos calcular f(2,7) pelo processo acima.

|[pic] |[pic]|[pic] |[pic] |[pic] |
| |[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |
|1,8 |1,76 |6,252 |16,8804 |[pic] |



Observação:
Por substituição iremos fazer 7 operações de multiplicação e 5 de adição,neste processo fizemos 4 operações de multiplicação e 4 de adição. Este método é valido para quaisquer polinômios ( n graus).


Interpolação entre Intervalos não Equidistantes e Tabela de Diferenças Divididas:

É utilizado quando os pontos conhecidos de uma função não estão em Progressão Aritimética (PA), e mesmo que estejam, este fato não é considerado. Seja f(x) em sua forma tabelada,os valores x0, x1, x2, ..., xn da variável independente {f(x0), f(x1), f(x2), ... , f(xn)}, chamar-se-á Diferença Dividida as expressões:
a) [pic] ( (Diferença Dividida de 1ª ordem) ( (D1)
b) [pic] ( (Diferença Dividida de 2ª ordem) ( (D2)
c) [pic] ( (Diferença Dividida de 3ª ordem) ( (D3)
d) [pic] ( (Diferença Dividida de Enézima ordem) ( (Dn)
Resumindo teremos [pic]...
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