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Introdução
Derivada representa a taxa de variação instantânea de uma função. Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação da função espaço. Do mesmo modo a função aceleração é a derivada da função velocidade. Diz-se que uma função “f“ é derivável (ou diferenciável) se, próximo de cada ponto a do seu domínio, a função f(x) − f(a) se comportar aproximadamente como umafunção linear, ou seja, se o seu gráfico for aproximadamente uma reta. O declive de uma tal reta é a derivada da função f no ponto a e representa-se por
* ou por .
*

Em cada ponto, a derivada de é a tangente do ângulo que a reta tangente a curva faz em relaçao ao eixo das abscissas. A reta é sempre tangente à curva azul; a tangente do ângulo que ela faz com o eixo das abscissas éa derivada. Note-se que a derivada é positiva quando verde, negativa quando vermelha, e zero quando preta.

Curiosidades da História
As atuais aplicações do Cálculo têm raízes que se referem ao trabalho do matemático grego Arquimedes, mas os princípios fundamentais do Cálculo atual foram feitos independentemente por Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz.
É curioso que o desenvolvimentohistórico do Cálculo seguiu a ordem contrária àquela dos textos e cursos básicos atuais sobre o assunto: primeiro surgiu o Cálculo Integral e depois o Cálculo Diferencial. A idéia de integração teve origem em processos somatórios para calcular certas áreas, volumes e comprimentos. Já a diferenciação resultou de problemas sobre tangentes a curvas e de questões de máximos e mínimos. Mais tardeverificou-se que a integração e a diferenciação estão relacionadas entre si, sendo cada uma delas operação inversa da outra.
No século XVII, quando Descartes e Pierre Fermat introduziram as coordenadas cartesianas, foi possível transformar problemas geométricos em problemas algébricos e
estudar analiticamente as funções. Os cientistas passaram, a partir de observações ou experiências realizadas, adeterminar fórmulas ou funções que relacionassem as variáveis em estudo. Enquanto se dedicava ao estudo de algumas destas funções, Fermat percebeu as limitações do conceito clássico de reta tangente a uma curva. Tornou-se assim importante reformular tal conceito e encontrar um processo para traçar uma tangente a um gráfico num dado ponto.

Estas idéias constituíram o embrião do conceito de DERIVADA elevou Laplace a considerar Fermat “o verdadeiro inventor do Cálculo Diferencial”. Contudo, Fermat não dispunha de notação apropriada e o conceito de limite não estava ainda claramente definido.
No século XVII, Leibniz algebrizou o Cálculo Infinitesimal, introduzindo os conceitos de variável, constante e parâmetro, bem como a notação dx e dy para designar a menor possível das diferenças em x eem y. Desta notação surgiu o nome do ramo da Matemática conhecido hoje como “Cálculo Diferencial”. Embora o conceito de limite e de derivada tenha sido introduzido formalmente por Cauchy somente no século XIX, o Cálculo Diferencial tornou-se um instrumento cada vez mais indispensável pela sua aplicabilidade aos mais diversos campos da Ciência desde o século XVII, com Leibniz e Newton.
DefiniçãoSeja I um intervalo com mais do que um ponto do conjunto dos números reais e seja f uma função de I em (função esta que é formalmente denotada por ). Se o ponto (lê-se: o ponto a pertence, faz parte do intervalo I), diz-se que f é derivável em a se existir o limite e o mesmo for finito
, onde

.

Se for esse o caso, aquele limite designa-se por derivada da função f no ponto a erepresenta-se por f′(a). Note que a derivada de f em a, se existir, é única. Isto continuaria a ser verdade se I fosse um conjunto qualquer de números reais e se a fosse um ponto não isolado de I.
Segundo esta definição, a derivada de uma função de uma variável é definida como um processo de limite. Considera-se a inclinação da secante, quando os dois pontos de intersecção com o gráfico de...
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