Teste análise (um)

eC´lculo II a
Lic. Eng. Inform´tica a 14 abril 2012 Dura¸˜o: 2 horas ca 1o Teste

[2.0 valores] Exerc´ ıcio 1.

Considere o conjunto A = {(x, y) ∈ R2 : x > 0 ∧ 1 < (x − 2)2 + y 2 ≤ 4}.
◦

Fa¸a um esbo¸o dos seguintes conjuntos: c c
a) A; b) A; c) A; d) Fr (A).

[3.0 valores] Exerc´ ıcio 2.

Considere a fun¸˜o definida por f (x, y) = ca

x2 . x2 − y 2

a) Determine e esboce o dom´ de f . ınio b) Mostre que lim
(x,y)→(0,0)

f (x, y) n˜o existe. a

[7.5 valores] Exerc´ ıcio 3.

Considere a fun¸˜o f : R2 −→ R tal que ca  x2 y  , se (x, y) = (0, 0) . f (x, y) = 2x2 + 3y 2  0, se (x, y) = (0, 0)

a) Mostre que f ´ cont´ e ınua em (0, 0). b) Calcule f (0, 0).

c) Determine a derivada direcional de f no ponto (0, 0) segundo a dire¸˜o do vetor (1, 1). ca d) Verifique se f ´ deriv´vel em (0, 0). e a e) Calcule
∂f ∂y (x, y)

para (x, y) = (0, 0).

[3.0 valores] Exerc´ ıcio 4.

Considere a fun¸˜o f : R2 −→ R dada por f (x, y) = (x − 1)3 + (x − 1)y 2 − x + 2. ca

a) Represente graficamente a curva de n´ 1 de f , isto ´, N1 = {(x, y) ∈ R2 : f (x, y) = 1}. ıvel e b) Determine uma equa¸˜o do plano tangente ao gr´fico de f em (2, 1). ca a

[4.5 valores] Exerc´ ıcio 5.

Considere a fun¸˜o f : R3 −→ R2 definida por f (x, y, z) = (yeyz , xyz). ca lim
(x,y,z)→(1,0,2)

a) Calcule

f (x, y, z).

b) Calcule a matriz jacobiana de f . c) Determine f (1, 2, 3).