Analise de testes

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Assunto : Números Complexos
Unidade imaginária: define-se a unidade imaginária , representada pela letra i , como sendo a raiz quadrada de -1. Pode-se escrever então:
i = -1 .
Observe que a partir dessa definição , passam a ter sentido certas operações com números reais , a exemplo das raízes quadradas de números negativos .
Ex: -16 = 16 . -1 = 4.i = 4i
Potências de i :
i0 = 1
i1 = ii2 = -1
i3 = i2 . i = -i
i4 = (i2)2 = (-1)2 = 1
i5 = i4 . i = 1.i = i
i6 = i5 . i = i . i = i2 = -1
i7 = i6 . i = -i , etc.
Percebe-se que os valores das potências de i se repetem no ciclo
1 , i , -1 , -i , de quatro em quatro a partir do expoente zero.
Portanto, para se calcular qualquer potência inteira de i , basta eleva-lo ao resto da divisão do expoente por 4. Assim , podemosresumir:
i4n = ir onde r = 0 , 1 , 2 ou 3. (r é o resto da divisão de n por 4).
Exemplo: Calcule i2001
Ora, dividindo 2001 por 4, obtemos resto igual a 1. Logo i2001 = i1 = i .
NÚMERO COMPLEXO
Definição: Dados dois números reais a e b , define-se o número complexo z como sendo:
z = a + bi , onde i = -1 é a unidade imaginária .
Exs: z = 2 + 3i ( a = 2 e b = 3)
w = -3 -5i (a = -3 e b = -5)
u= 100i ( a = 0 e b = 100)
NOTAS:
a) diz-se que z = a + bi é a forma binômia ou algébrica do complexo z .
b) dado o número complexo z = a + bi , a é denominada parte real e b parte imaginária.
Escreve-se : a = Re(z) ; b = Im(z) .
c) se em z = a + bi tivermos a = 0 e b diferente de zero, dizemos que z é um imaginário puro . Ex: z = 3i .
d)se em z = a + bi tivermos b = 0 , dizemos que z é umnúmero real .
Ex: z = 5 = 5 + 0i .
e)do item (c) acima concluímos que todo número real é complexo, ou seja,
o conjunto dos números reais é um subconjunto do conjunto dos números complexos.
f) um número complexo z = a + bi pode também ser representado como um par ordenado z = (a,b) .
Exercícios Resolvidos:
1) Sendo z = (m2 - 5m + 6) + (m2 - 1) i , determine m de modo que z seja umimaginário puro.
Solução: Para que o complexo z seja um imaginário puro, sua parte real deve ser nula ou seja, devemos ter m2 - 5m + 6 = 0, que resolvida encontramos m=2 ou m=3.
2) Determine a parte real do número complexo z = (1 + i)12 .
Solução: Observe que (1 + i)12 = [(1 + i)2]6 . Nestas condições, vamos desenvolver o produto notável
(1 + i)2 = 12 + 2.i + i2 = 1 + 2i -1 = 2i  (1 + i)2 = 2i (istoé uma propriedade importante, que vale a pena ser memorizada).
Substituindo na expressão dada, vem:
(1 + i)12 = [(1 + i)2]6 = (2i)6 = 26.i6 = 64.(i2)3 = 64.(-1)3 = - 64.
Portanto, o número complexo dado fica z = - 64 = - 64 + 0i e portanto sua parte real é igual a -64.
3) Determine a parte imaginária do número complexo z = (1 - i)200 .
Solução: Podemos escrever o complexo z como: z = [(1- i)2]100 . Desenvolvendo o produto notável
(1 - i)2 = 12 - 2.i + i2 = 1 - 2i -1 = - 2i  (1 - i)2 = - 2i (isto é uma propriedade importante, que merece ser memorizada).
Substituindo na expressão dada, vem:
z = (- 2i)100 = (- 2)100. i100 = 2100 . i100 = 2100 . ( i2 )50 = 2100. (- 1)50 = 2100 . 1 = 2100.
Logo, o número complexo z é igual a 2100 e portanto um número real. Daí concluímos quea sua parte imaginária é zero.
CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO
Dado um número complexo z = a + bi , chama-se conjugado de z e representa-se por , a um outro número complexo que possui a mesma parte real de z e a parte imaginária o simétrico aditivo da parte imaginária de z .
z = a + bi  = a - bi
Ex: z = 3 + 5i ; = 3 - 5i
Obs : Sabemos que os números complexos podem também serrepresentados na forma de pares ordenados . Assim é que z = a + bi = (a,b).
Portanto , por analogia com o sistema de coordenadas cartesianas , pode-se representar graficamente qualquer número complexo z num sistema de coordenadas cartesianas , bastando marcar a parte real a no eixo horizontal e a parte imaginária b no eixo vertical . Neste caso , o eixo horizontal é chamado eixo real e o eixo vertical é...
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