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Cap´
ıtulo 8
A Integral
8.1
Rela¸˜o entre fun¸oes com derivadas iguais
ca
c˜
Teorema 8.1. Seja f cont´
ınua no intervalo I . Se f (x) = 0 em todo x interior a I , ent˜o
a
existir´ uma constante k tal que f (x) = k para todo x em I .
a
Corol´rio 8.1. Sejam f e g cont´
a
ınuas no intervalo I . Se f (x) = g (x) em todo x interior a
I , ent˜o existir´ uma constante k tal que
aa
g ( x) = f ( x) + k
para todo x em I .
111
Exemplo 8.1. Seja f definida e deriv´vel em R e tal que , para todo x, f (x) = f (x). Prove
a
que existe uma constante k tal que, para todo x, tem-se f (x) = kex .
Exemplo 8.2. Determine y = f (x), x ∈ R, tal que
dy
= y e f (0) = 2.
dx
8.2
Primitiva de uma fun¸˜o
ca
Seja f uma fun¸˜o definida num intervalo I . Uma Primitiva de fem I ´ uma fun¸ao F
ca
e
c˜
definida em I , tal que
F ( x) = f ( x)
para todo x em I .
112
1
Exemplo 8.3. F (x) = x3 ´ uma primitiva de f (x) = x2 em R.
e
3
Exemplo 8.4. Para toda constante k , F (x) = 2x + k ´ primitiva, em R, de f (x) = 2, pois,
e
F (x) = (2x + k ) = 2 = f (x)
para todo x.
Se F ´ uma primitiva de f em I , ent˜o, para toda constante k , F (x) + k ´, tamb´m,e
a
e
e
primitiva de f . Al´ disso, vimos anteriormente que se duas fun¸oes tem derivadas iguais num
e
c˜
intervalo, elas diferem, neste intervalo, por uma constante. Segue que as primitvas de f em I
s˜o as fun¸˜es da forma F (x) + k , com k constante. Diremos, ent˜o, que
a
co
a
y = F (x) + k,
´ a fam´ das primitivas de f em I . A nota¸˜o
e
ılia
ca
k constante
f (x)dx ´ usadapara representar a fam´
e
ılia
de primitivas de f , isto ´,
e
f (x)dx = F (x) + k.
Na nota¸˜o
ca
f (x)dx, a fun¸ao f denomina-se integrando. Uma primitiva de f ser´, tamb´m,
c˜
a
e
´
denominada uma integral indefinida de f . E comum referir-se a
indefinida de f .
Exerc´
ıcios 8.1. Calcule
a)
x2 dx
b)
dx
113
f (x)dx como a integral
Exerc´
ıcios 8.2. Calculexα dx, onde α = −1 ´ um n´mero real fixo.
e
u
Exerc´
ıcios 8.3. Calcule
a)
x3 dx
b)
1
dx
x2
c)
d)
√
3
x2 dx
x5 +
1
+ 4 dx
x3
114
Exerc´
ıcios 8.4. Calcule
1
dx, x > 0.
x
Seja α uma constante real. Dos exerc´
ıcios 8.2 e 8.4 resulta
xα+1
+ k se α = −1
α
α+1
x dx =
(ln x) + k se α = −1 (x > 0)
Exerc´
ıcios 8.5. Calcule1√
+ x d x, x > 0 .
x
Exerc´
ıcios 8.6. Seja α uma constante real, α = 0. Calcule
Exerc´
ıcios 8.7. Calcule
a)
ex dx
b)
e2x dx
115
eαx dx.
8.3
Primitivas imediatas
Sejam α = 0 e c constantes reais. Das f´rmulas de deriva¸ao j´ vistas seguem as seguintes
o
c˜ a
f´rmulas de integra¸ao:
o
c˜
a)
cdx = cx + k
b)
xα dx =
c)
ex dx = ex + k
d)
1dx = ln x + k (x > 0)
x
e)
1
dx = ln (−x) + k (x < 0)
x
f)
1
dx = ln |x| + k
x
g)
cos xdx = senx + k
h)
senxdx = − cos x + k
i)
sec2 xdx = tgx + k
j)
sec xtgxdx = sec x + k
l)
sec xdx = ln | sec x + tgx| + k
xα+1
+ k (α = −1)
α+1
m)
tgxdx = − ln | cos x| + k
n)
1
dx = arctgx + k
1 + x2
o)
√
1
dx = arcsenx + k
1 − x2116
8.4
Integral definida
Do c´lculo diferencial, sabemos que uma fun¸ao f ´ deriv´vel se existe e ´ finito o limite
a
c˜
e
a
e
f ( x + h ) − f ( x)
.
h→ 0
h
f (x) = lim
Uma maneira equivalente de expressar a deriva ´ por meio do seguinte limite
e
∆f
.
∆ x→ 0 ∆ x
f (x) = lim
8.4.1
´
Areas e Integrais Definidas
Defini¸˜o 8.1 (Integral definida). Seja f umafun¸˜o n˜o-negativa no intervalo [a, b]. A ´rea
ca
ca a
a
A da regi˜o limitada pelo gr´fico de f , pelo eixo dos x e pelas retas x = a e x = b ´ denotada
a
a
e
por
b
A=
f (x)dx.
a
A express˜o
a
b
a
f (x)dx ´ chamada de integral definida de a at´ b, em que a ´ o limite inferior
e
e
e
de integra¸˜o e b o limite superior de integra¸˜o.
ca
ca
117
2
Exemplo 8.5....
ıtulo 8
A Integral
8.1
Rela¸˜o entre fun¸oes com derivadas iguais
ca
c˜
Teorema 8.1. Seja f cont´
ınua no intervalo I . Se f (x) = 0 em todo x interior a I , ent˜o
a
existir´ uma constante k tal que f (x) = k para todo x em I .
a
Corol´rio 8.1. Sejam f e g cont´
a
ınuas no intervalo I . Se f (x) = g (x) em todo x interior a
I , ent˜o existir´ uma constante k tal que
aa
g ( x) = f ( x) + k
para todo x em I .
111
Exemplo 8.1. Seja f definida e deriv´vel em R e tal que , para todo x, f (x) = f (x). Prove
a
que existe uma constante k tal que, para todo x, tem-se f (x) = kex .
Exemplo 8.2. Determine y = f (x), x ∈ R, tal que
dy
= y e f (0) = 2.
dx
8.2
Primitiva de uma fun¸˜o
ca
Seja f uma fun¸˜o definida num intervalo I . Uma Primitiva de fem I ´ uma fun¸ao F
ca
e
c˜
definida em I , tal que
F ( x) = f ( x)
para todo x em I .
112
1
Exemplo 8.3. F (x) = x3 ´ uma primitiva de f (x) = x2 em R.
e
3
Exemplo 8.4. Para toda constante k , F (x) = 2x + k ´ primitiva, em R, de f (x) = 2, pois,
e
F (x) = (2x + k ) = 2 = f (x)
para todo x.
Se F ´ uma primitiva de f em I , ent˜o, para toda constante k , F (x) + k ´, tamb´m,e
a
e
e
primitiva de f . Al´ disso, vimos anteriormente que se duas fun¸oes tem derivadas iguais num
e
c˜
intervalo, elas diferem, neste intervalo, por uma constante. Segue que as primitvas de f em I
s˜o as fun¸˜es da forma F (x) + k , com k constante. Diremos, ent˜o, que
a
co
a
y = F (x) + k,
´ a fam´ das primitivas de f em I . A nota¸˜o
e
ılia
ca
k constante
f (x)dx ´ usadapara representar a fam´
e
ılia
de primitivas de f , isto ´,
e
f (x)dx = F (x) + k.
Na nota¸˜o
ca
f (x)dx, a fun¸ao f denomina-se integrando. Uma primitiva de f ser´, tamb´m,
c˜
a
e
´
denominada uma integral indefinida de f . E comum referir-se a
indefinida de f .
Exerc´
ıcios 8.1. Calcule
a)
x2 dx
b)
dx
113
f (x)dx como a integral
Exerc´
ıcios 8.2. Calculexα dx, onde α = −1 ´ um n´mero real fixo.
e
u
Exerc´
ıcios 8.3. Calcule
a)
x3 dx
b)
1
dx
x2
c)
d)
√
3
x2 dx
x5 +
1
+ 4 dx
x3
114
Exerc´
ıcios 8.4. Calcule
1
dx, x > 0.
x
Seja α uma constante real. Dos exerc´
ıcios 8.2 e 8.4 resulta
xα+1
+ k se α = −1
α
α+1
x dx =
(ln x) + k se α = −1 (x > 0)
Exerc´
ıcios 8.5. Calcule1√
+ x d x, x > 0 .
x
Exerc´
ıcios 8.6. Seja α uma constante real, α = 0. Calcule
Exerc´
ıcios 8.7. Calcule
a)
ex dx
b)
e2x dx
115
eαx dx.
8.3
Primitivas imediatas
Sejam α = 0 e c constantes reais. Das f´rmulas de deriva¸ao j´ vistas seguem as seguintes
o
c˜ a
f´rmulas de integra¸ao:
o
c˜
a)
cdx = cx + k
b)
xα dx =
c)
ex dx = ex + k
d)
1dx = ln x + k (x > 0)
x
e)
1
dx = ln (−x) + k (x < 0)
x
f)
1
dx = ln |x| + k
x
g)
cos xdx = senx + k
h)
senxdx = − cos x + k
i)
sec2 xdx = tgx + k
j)
sec xtgxdx = sec x + k
l)
sec xdx = ln | sec x + tgx| + k
xα+1
+ k (α = −1)
α+1
m)
tgxdx = − ln | cos x| + k
n)
1
dx = arctgx + k
1 + x2
o)
√
1
dx = arcsenx + k
1 − x2116
8.4
Integral definida
Do c´lculo diferencial, sabemos que uma fun¸ao f ´ deriv´vel se existe e ´ finito o limite
a
c˜
e
a
e
f ( x + h ) − f ( x)
.
h→ 0
h
f (x) = lim
Uma maneira equivalente de expressar a deriva ´ por meio do seguinte limite
e
∆f
.
∆ x→ 0 ∆ x
f (x) = lim
8.4.1
´
Areas e Integrais Definidas
Defini¸˜o 8.1 (Integral definida). Seja f umafun¸˜o n˜o-negativa no intervalo [a, b]. A ´rea
ca
ca a
a
A da regi˜o limitada pelo gr´fico de f , pelo eixo dos x e pelas retas x = a e x = b ´ denotada
a
a
e
por
b
A=
f (x)dx.
a
A express˜o
a
b
a
f (x)dx ´ chamada de integral definida de a at´ b, em que a ´ o limite inferior
e
e
e
de integra¸˜o e b o limite superior de integra¸˜o.
ca
ca
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2
Exemplo 8.5....
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