Tcc a importancia da matematica na educação infantil

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Cap´
ıtulo 8
A Integral
8.1

Rela¸˜o entre fun¸oes com derivadas iguais
ca


Teorema 8.1. Seja f cont´
ınua no intervalo I . Se f (x) = 0 em todo x interior a I , ent˜o
a
existir´ uma constante k tal que f (x) = k para todo x em I .
a

Corol´rio 8.1. Sejam f e g cont´
a
ınuas no intervalo I . Se f (x) = g (x) em todo x interior a
I , ent˜o existir´ uma constante k tal que
aa
g ( x) = f ( x) + k
para todo x em I .

111

Exemplo 8.1. Seja f definida e deriv´vel em R e tal que , para todo x, f (x) = f (x). Prove
a
que existe uma constante k tal que, para todo x, tem-se f (x) = kex .

Exemplo 8.2. Determine y = f (x), x ∈ R, tal que
dy
= y e f (0) = 2.
dx

8.2

Primitiva de uma fun¸˜o
ca

Seja f uma fun¸˜o definida num intervalo I . Uma Primitiva de fem I ´ uma fun¸ao F
ca
e

definida em I , tal que
F ( x) = f ( x)
para todo x em I .
112

1
Exemplo 8.3. F (x) = x3 ´ uma primitiva de f (x) = x2 em R.
e
3

Exemplo 8.4. Para toda constante k , F (x) = 2x + k ´ primitiva, em R, de f (x) = 2, pois,
e
F (x) = (2x + k ) = 2 = f (x)
para todo x.

Se F ´ uma primitiva de f em I , ent˜o, para toda constante k , F (x) + k ´, tamb´m,e
a
e
e
primitiva de f . Al´ disso, vimos anteriormente que se duas fun¸oes tem derivadas iguais num
e

intervalo, elas diferem, neste intervalo, por uma constante. Segue que as primitvas de f em I
s˜o as fun¸˜es da forma F (x) + k , com k constante. Diremos, ent˜o, que
a
co
a
y = F (x) + k,
´ a fam´ das primitivas de f em I . A nota¸˜o
e
ılia
ca

k constante
f (x)dx ´ usadapara representar a fam´
e
ılia

de primitivas de f , isto ´,
e
f (x)dx = F (x) + k.
Na nota¸˜o
ca

f (x)dx, a fun¸ao f denomina-se integrando. Uma primitiva de f ser´, tamb´m,

a
e

´
denominada uma integral indefinida de f . E comum referir-se a
indefinida de f .
Exerc´
ıcios 8.1. Calcule
a)

x2 dx

b)

dx

113

f (x)dx como a integral

Exerc´
ıcios 8.2. Calculexα dx, onde α = −1 ´ um n´mero real fixo.
e
u

Exerc´
ıcios 8.3. Calcule
a)

x3 dx

b)

1
dx
x2

c)
d)


3

x2 dx

x5 +

1
+ 4 dx
x3

114

Exerc´
ıcios 8.4. Calcule

1
dx, x > 0.
x

Seja α uma constante real. Dos exerc´
ıcios 8.2 e 8.4 resulta

 xα+1

+ k se α = −1
α
α+1
x dx =

 (ln x) + k se α = −1 (x > 0)
Exerc´
ıcios 8.5. Calcule1√
+ x d x, x > 0 .
x

Exerc´
ıcios 8.6. Seja α uma constante real, α = 0. Calcule

Exerc´
ıcios 8.7. Calcule
a)

ex dx

b)

e2x dx
115

eαx dx.

8.3

Primitivas imediatas

Sejam α = 0 e c constantes reais. Das f´rmulas de deriva¸ao j´ vistas seguem as seguintes
o
c˜ a
f´rmulas de integra¸ao:
o

a)

cdx = cx + k

b)

xα dx =

c)

ex dx = ex + k

d)

1dx = ln x + k (x > 0)
x

e)

1
dx = ln (−x) + k (x < 0)
x

f)

1
dx = ln |x| + k
x

g)

cos xdx = senx + k

h)

senxdx = − cos x + k

i)

sec2 xdx = tgx + k

j)

sec xtgxdx = sec x + k

l)

sec xdx = ln | sec x + tgx| + k

xα+1
+ k (α = −1)
α+1

m)

tgxdx = − ln | cos x| + k

n)

1
dx = arctgx + k
1 + x2

o)



1
dx = arcsenx + k
1 − x2116

8.4

Integral definida

Do c´lculo diferencial, sabemos que uma fun¸ao f ´ deriv´vel se existe e ´ finito o limite
a

e
a
e
f ( x + h ) − f ( x)
.
h→ 0
h

f (x) = lim

Uma maneira equivalente de expressar a deriva ´ por meio do seguinte limite
e
∆f
.
∆ x→ 0 ∆ x

f (x) = lim

8.4.1

´
Areas e Integrais Definidas

Defini¸˜o 8.1 (Integral definida). Seja f umafun¸˜o n˜o-negativa no intervalo [a, b]. A ´rea
ca
ca a
a
A da regi˜o limitada pelo gr´fico de f , pelo eixo dos x e pelas retas x = a e x = b ´ denotada
a
a
e
por
b

A=

f (x)dx.
a

A express˜o
a

b
a

f (x)dx ´ chamada de integral definida de a at´ b, em que a ´ o limite inferior
e
e
e

de integra¸˜o e b o limite superior de integra¸˜o.
ca
ca

117

2

Exemplo 8.5....
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