Taxas nominal e efetiva e desconto composto

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1. Taxa Nominal e Taxa Efetiva

Taxa Nominal é aquela cujo período de capitalização não coincide com aquele a que ela se refere. A taxa nominal é sempre fornecida em termos anuais, e os períodos de capitalização podem ser semestrais, trimestrais, mensais ou diários. São exemplos de taxas nominais:
• 12% ao ano, capitalizados mensalmente
• 24% ao ano, capitalizados semestralmente
• 10% aoano, capitalizados trimestralmente
• 18% ao ano, capitalizados diariamente

A taxa nominal, apesar de bastante utilizada no mercado, não apresenta uma taxa efetiva e, por isso, não deve ser usada nos cálculos financeiros, no regime de juros compostos.

Toda taxa nominal traz em seu enunciado uma taxa efetiva implícita, que é a taxa de juros a ser aplicada em cada período de capitalização.Essa taxa efetiva implícita é sempre calculada de forma proporcional, no regime de juros simples. Nos exemplos anteriores as taxas efetivas que estão implícitas nos enunciados das taxas nominais são as seguintes:
• 12% ao ano, capitalizados mensalmente: 12% a.a = 1% ao mês
12 meses

• 24% ao ano, capitalizados semestralmente:24% a.a. = 12% ao semestre
2 semestres

• 10% ao ano, capitalizados trimestralmente: 10% a.a. = 2,5% ao trimestre
4 trimestres

• 18% ao ano, capitalizados diariamente: 18% a.a = 0,05% ao dia
360 dias

Devemos então abandonar os valores das taxas nominais e realizar os cálculos financeiros, no regime de juros compostos, com os valores das taxas efetivascorrespondentes, ou seja, 1% ao mês, 12% ao semestre, 2,5% ao trimestre e 0,05% ao dia. Conforme podemos observar, a taxa efetiva implícita de uma taxa nominal anual é sempre obtida no regime de juros simples

Exemplo: Qual o montante de um capital de R$ 5.000, no fim de 2 anos, com juros de 24% ao ano capitalizados trimestralmente?

Resolução: VP = R$ 5.000,00
i = 24% a.a. = 0,24 a.a.
n = 2 anosPela convenção adotada temos: it = 0,24 = 0,06 a.t.
4
n = 2 anos x 4 trimestres = 08 trimestres

VF = 5.000 (1,06)8 = R$ 7.969,24
HP 12C: [5.000] [CHS] [PV] [6] [i] [8] [n] [FV] visor: R$ 7.969,24

Taxa efetiva é a taxa dos juros apurada durante todo o prazo n, sendo formada exponencialmente através dos períodos de capitalização. Ou seja, taxa efetiva é o processo de formaçãodos juros pelo regime de juros compostos ao longo dos períodos de capitalização. É obtida pela seguinte expressão:

if = 1 + i q - 1
q

Onde: if = taxa efetiva de juros;
i = taxa nominal de juros;
q = número de períodos de capitalização

Exemplo: Uma taxa nominal de 18% ao ano é capitalizada semestralmente. Calcule a taxa efetiva.

Resolução = i =18% a.a. = 0,18 a.a.
q = 2 semestres
i/q = 0,18/2 = 0,09

if = (1 + 0,09)2 – 1 = 18,81% a.a.

2. Desconto Composto

O conceito de desconto no regime de capitalização composta é o mesmo do desconto simples: é o abatimento que obtemos a saldar um compromisso antes de seu vencimento. Empregamos o desconto composto para operações de longoprazo, já que a aplicação do desconto simples comercial, nesses casos, pode levar-nos a resultados sem nexo (o desconto simples comercial só deve ser usado para períodos curtos, pois, para prazos longos o valor do desconto pode até ultrapassar o valor nominal do título). Analogamente ao caso do desconto simples, temos dois tipos de desconto composto: racional (por dentro) e o comercial (por fora).O desconto comercial (por fora) é raramente empregado no Brasil, não apresentando uso prático. O desconto racional (por dentro) envolve o valor atual e o valor nominal de um título capitalizado segundo o regime de juros compostos, apresentando, portanto, larga utilização prática.

2.1. Desconto Composto Comercial “Por Fora”

O desconto composto “por fora” caracteriza-se pela incidência...
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