Tabelas primitivas

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´
Departamento de Matematica da Universidade de Coimbra
Matem´tica
a

Tabela de Primitivas
PRIMITIVAS IMEDIATAS
Fun¸˜o
ca
a

ax + C

fm · f′

f m+1
+ C (m ∈ IR\{−1})
m+1

f′
f

ln |f | + C

af · f ′

Na lista de primitivas que se segue considera-se
uma fun¸˜o f : I −→ IR diferenci´vel em I , onde
ca
a
I ´ um intervalo de IR. Al´m disso, denotamos
e
e
por C aconstante de primitiva¸˜o (arbitr´ria) e
ca
a
por a uma constante.

Primitiva

af
+ C (a ∈ IR+ \{1})
ln a

Fun¸˜o
ca

Primitiva

Fun¸˜o
ca

Primitiva

f ′ · sen f

− cos f + C

f ′ · senh f

cosh f + C

f ′ · cos f

sen f + C

f ′ · cosh f

senh f + C

f ′ · tg f

− ln | cos f | + C

f ′ · tgh f

ln | cosh f | + C

f ′ · cotg f

ln | sen f | + C

f ′ ·cotgh f

ln | senh f | + C

f ′ · sec f

ln | sec f + tg f | + C

f ′ · sech 2 f

tgh f + C

f ′ · cosec f

ln | cosec f − cotg f | + C

f ′ · cosech 2 f

− cotgh f + C

f ′ · sec2 f

tg f + C

f ′ · sech f · tgh f

− sech f + C

f ′ · cosec 2 f

− cotg f + C

f ′ · cosech f · cotgh f

− cosech f + C

f ′ · sec f · tg f

sec f + C

f ′ · cosec f · cotg f

−cosec f + C

f′
1 − f2
f′
1 + f2

f′
1 + f2

arc sen f + C ou
− arc cos f + C

f′
f2 − 1
f′
1 − f2

f′
|f | ·

arg cotgh f + C , se |f (x)| > 1

f′

f2 − 1

arc sec f + C ou
− arc cosec f + C

|f | ·

1 − f2
f′

|f | ·

arg cosh f + C

arg tgh f + C , se |f (x)| < 1 ou

arc tg f + C ou
- arc cotg f + C

arg senh f + C

1 + f2

− arg sech f + C
argcosech f + C

PRIMITIVACAO POR PARTES
¸˜
f (x) · g (x) dx = F (x) · g (x) −

F (x) · g ′ (x) dx,

sendo F uma primitiva de f .
REGRAS DE PRIMITIVACAO
¸˜

Potˆncias de fun¸˜es trigonom´tricas e hiperb´licas
e
co
e
o
1. Potˆncias ´mpares de sen x, cos x, senh x e cosh x.
e
ı
Destaca-se uma unidade ` potˆncia ´
a
e
ımpar e o factor resultante passa-se para a co-fun¸˜o atrav´sdas f´rmulas
ca
e
o
fundamentais:
cos2 x + sen 2 x = 1,
cosh 2 x − senh 2 x = 1.
2. Potˆncias pares de sen x, cos x, senh x e cosh x.
e
Passam-se para o arco duplo atrav´s das f´rmulas:
e
o
1
(1 − cos 2x),
2

cos2 x =

1
(1 + cos 2x)
2

1
( cosh 2x − 1)
2

cosh 2 x =

1
( cosh 2x + 1).
2

sen 2 x =
senh 2 x =

3. Potˆncias pares e ´mpares de tg x, cotg x, tgh x ecotgh x.
e
ı
Destaca-se tg 2 x ( tgh 2 x) ou cotg 2 x ( cotgh 2 x) e aplica-se uma das f´rmulas:
o
tg 2 x = sec2 x − 1

( tgh 2 x = 1 − sech 2 x)

cotg 2 x = cosec 2 x − 1

( cotgh 2 x = 1 + cosech 2 x).

4. Potˆncias pares de sec x, cosec x, sech x e cosech x.
e
Destaca-se sec2 x ( sech 2 x) ou cosec 2 x ( cosech 2 x) e ao factor resultante aplica-se uma das f´rmulas:
o
sec2 x =1 + tg 2 x

( sech 2 x = 1 − tgh 2 x)

cosec 2 x = 1 + cotg 2 x

( cosech 2 x = cotgh 2 x − 1).

5. Potˆncias ´mpares de sec x, cosec x, sech x e cosech x.
e
ı
Destaca-se sec2 x ( sech 2 x) ou cosec 2 x ( cosech 2 x) e primitiva-se por partes come¸ando por esse factor.
c

Produtos de potˆncias das fun¸˜es sen x e cos x ( senh x e cosh x)
e
co
1. Potˆncia ´mpar de sen x ( senh x)por qualquer potˆncia de cos x (cosh x).
e
ı
e
Destaca-se sen x ( senh x) e passa-se o factor resultante para a co-fun¸˜o, atrav´s da f´rmula fundamental:
ca
e
o
sen 2 x = 1 − cos2 x

( senh 2 x = cosh2 x − 1).

2. Potˆncia ´mpar de cos x (cosh x) por qualquer potˆncia de sen x ( senh x).
e
ı
e
Destaca-se cos x (cosh x) e passa-se o factor resultante para a co-fun¸˜o, atrav´s daf´rmula fundamental:
ca
e
o
cos2 x = 1 − sen 2 x

( cosh 2 x = 1 + senh 2 x).

3. Potˆncia par de sen x ( senh x) por potˆncia par de cos x (cosh x).
e
e
Aplicam-se as f´rmulas:
o
sen 2x = 2 sen x cos x

( senh 2x = 2 senh x cosh x)

sen 2 x =

1 − cos 2x
2

senh 2 x =

cosh 2x − 1
2

cos2 x =

1 + cos 2x
2

cosh 2 x =

cosh 2x + 1
.
2

Produtos em que...
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