Séries

S´ries - Teoremas e

1

Teorema 1. c an (sendo c uma constante) e (an ± bn ) tamb´m e

Se an e bn s˜o s´ries convergentes, ent˜o as s´ries a e a e s˜o convergentes a a. b. c an = c (an ± bn ) = an an ± bn ,

2
2.1

Testes de convergˆncia: e
Teorema 2 (Teste da divergˆncia) e an ´ divergente. e

Se limn→+∞ an n˜o existe ou se limn→+∞ an = 0, ent˜o a s´rie a a e

2.2

Teorema 3 (Teste da integral)

Seja an uma s´rie com termos positivos e seja f (x) a fun¸˜o que resulta quando k for substitu´ por x no e ca ıdo termo geral da s´rie. Se f ´ decrescente e cont´ e e ınua no intervalo [a, +∞), ent˜o a a. Se b. Se 2.2.1
+∞ a +∞ a

f (x)dx ´ convergente, e f (x)dx ´ divergente, e

an ´ convergente e an ´ divergente e

Estimativa do erro para o teste da integral an ´ convergente. O erro de e

Se f (n) = an uma fun¸˜o cont´ ca ınua, positiva e decrescente para x ≥ n e truncamento Rn satisfaz
∞ ∞

f (x)dx ≤ Rn ≤ n+1 n

f (x)dx

(1)

2.2.2 A s´rie e

p-s´ries e
∞ 1 n=1 np

´ convergente se p > 1 e divergente se p ≤ 1 e

2.3
Sejam

Teorema 3 (Teste da compara¸˜o) ca an e bn s´ries com termos positivos, e an ´ convergente e an ´ divergente e

a. Se b. Se 2.3.1 Sejam

bn ´ convergente e an ≤ bn para todo n > No , ent˜o e a bn ´ divergente e an ≥ bn para todo n > No , ent˜o e a Teorema 4 (Teste da compara¸˜o dos limites) ca an e bn s´ries com termos positivos, se e n−→∞ lim

an =c bn

(2)

onde c ´ um n´mero finito e c > 0, ent˜o ambas as s´ries convergem ou ambas as s´ries divergem. e u a e e 1

2.3.2

Estimativa do erro para o teste de compara¸˜o ca bn com erro Tn , s´ries convergentes com termos positivos e an ≤ bn para todo e

Sejam an com erro Rn e n > No , ent˜o Sn ≤ Tn a

2.4

Teorema 5 (Teste de s´ries alternadas) e
∞

Se a s´rie alternada e (−1)n an = a1 − a2 + a3 − a4 + ........(an > 0) n=1 (3)

satisfaz a. an+1 ≤ an , para todo n b. limx−→∞ an = 0 , a s´rie ´ convergente. e e 2.4.1