Séries

[pic]

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO AMAZONAS - IFAM CURSO SUPERIOR DE GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA

SÉRIES TELESCÓPICAS

Manaus
2012
Ranger Fabricio Paiva Cardoso

SÉRIES TELESCÓPICAS

Manaus
2012
SÉRIES NUMÉRICAS

Os primeiros exemplos de seqüências numéricas que tomamos conhecimento no nosso estudo de Matemática foram as progressões aritméticas (P.A.) e geométricas (P.G.). Nem sempre teremos seqüências de números que crescem (ou decrescem) pela soma (P.A.) ou produto (P.G.) de uma mesma quantidade.

Definição

Uma sequência numérica u é uma função definida no conjunto (N) dos Naturais. Para cada natural n ∈ N, temos associado um valor numérico u(n), usualmente representado por [pic] , chamado de nº termo. Costumamos representar isto por [pic]ou quando não houver dúvidas a respeito dos termos seguintes, [pic]}.

Exemplo:

[pic]

Convergência

Dizemos que uma sequência {[pic] } converge (é convergente ) se existir o [pic] Caso contrário, a chamamos de divergente (ou não convergente - diverge)

SÉRIES TELESCÓPICAS

Não existindo uma definição precisa, diz-se tradicionalmente que uma série ([pic]) € N telescópica (ou de Mengoli) se for conhecida explicitamente uma outra sucessão ([pic])n €N tal que para todo n € N,

Por exemplo, as séries de termo geral:

[pic]

são sucessões telescópicas.

Tal como acontece para as sucessões aritméticas ou geométricas, o termo geral da sucessão das somas parciais associada a uma sucessão telescópica pode ser obtido explicitamente:
[pic]
Por exemplo,

[pic]

De maneira mais geral, aproveitando este tipo de simplificações, é possível determinar explicitamente a sucessão das somas parciais de muitas outras sucessões, como por exemplo as da forma [pic]

Não se