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Sequências e Séries
Sadao Massago
Maio de 2011

Sumário
1 Aritmética Innitesimal

1

2 Sequências Numéricas

2

2.1

Algumas propriedades operacionais

............................

2

2.2

Teste da subsequência

...................................

3

2.3

Sequências denidas pela função contínua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.4Teorema de Sanduíche

...................................

4

2.5

Usando a ordem da função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

2.6

Sequências monótona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.7

Limite da sequência denida pela recorrência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.8

Algunslimites importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

3 Séries Numéricas

8

3.1

Algumas propriedades operacionais

............................

9

3.2

Limite do termo geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

3.3

Séries geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .

10

3.4

Séries alternada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

3.5

Séries de termos positivos

11

3.6

Séries absolutamente convergente

3.7

Teste da raiz e da razão

.................................
.............................

14

..................................

15

4 Séries de Potências

174.1

Raio de convergência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

4.2

O Intervalo de convergência

................................

18

4.3

Derivadas e integrais

....................................

19

5 Séries de Taylor e de Maclaurin

21

A Prova do Teorema 2.23

25

B Considerações sobre sequências recursivas

26

CExemplo de rearranjos dos termos da séries condicionalmente convergentes

27

i

Capítulo 1
Aritmética Innitesimal
Denição 1.1.

O

innito

é a representação do valor maior que qualquer número e é denotado por

∞.

Denição 1.2.

O valor innitesimalmente maior que

o cálculo innitesimal, mas o valor numérico de
mente menor que

a

é denotado por

a



a+

a

é denotado por

é igual a

a.

a+ .

Temos que

a+ > a

para

Analogamente, o valor innitesimal-

. Entre estes valores innitesimalmente próximos,

frequentemente usados, juntamente com o jogo de sinal. Por exemplo,

1
(0− )2

=

1
0+

0+

e

0−

são

= ∞.

A regra de operação envolvendo os valores innitesimais (innitamente pequeno ouinnitamente
grande), requer formalismo de limites. A seguir, algumas regras sem a demonstração.

Se
Se

∞ + ∞ = ∞, ∞ · ∞ = ∞, ∞∞ = ∞,
a > 0 então a · ∞ = ∞, ∞a = ∞.
a > 1 então a∞ = ∞

1


= 0+ ,

1
0+

= ∞ ,∞ + c = ∞ ,

Indeterminados:

∞ − ∞,

∞10
,,,
∞00

0∞ , ∞0 , 1∞ .

Exercício 1. Justique cada um dos indeterminados, através de contra exemplos (apresentar limitesadequados).

Exercício 2.

Para

0 < a,

Exercício 3.

Para

0 0 existe N0 ∈ N tal que n > N0 =⇒ |xn − L| < ε.
→∞
Neste caso, a sequência é denominado de
Note que,

|xn − L| < ε

sequencia convergente

se, e somente se,

e

L

L − ε < xn < L + ε,

é dito

limite da sequência.

o que é bastante empregado nas

demonstrações.

Denição 2.2. nlim xn = ∞ se para todo M∈ R existe N0 ∈ N tal que n > N0 =⇒ xn > M .
→∞
caso, dizemos que a

sequência diverge para innito

sequência diverge para

−∞

imediato que uma sequencia

Denição 2.3.

e denotamos por

lim xn = ∞.

n→∞

Analogamente, a

M ∈ R existe N0 ∈ N tal que n > N0 =⇒ xn < M .
para −∞ se, e somente se, −xn diverge para innito.

se, para todo

xn

diverge

A sequência não...
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