Sistemas lineares

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Universidade Federal do Rio Grande do Norte  Escola de Ciências e Tecnologia 
UFRN 

Parte I: Introdução e Eliminação de  Gauss 

Solução de Sistemas de  Equações Lineares 

ECT1303 – Computação Numérica  2011.2 

•  Manter o telefone celular sempre  desligado/silencioso quando esCver em  sala de aula;  •  Nunca atender o celular na sala de aula. 

ObjeCvos  

 Definição dos conceitos de equação linear e sistema  linear; 
  Apresentação de métodos numéricos exatos e  iteraCvos para resolução de sistemas lineares; 
  Exemplos de aplicações dos sistemas lineares na  engenharia. 

MoCvação  

  Em diversas situações práCcas, necessitamos resolver  sistemas de equações lineares, da forma: 
a11 x1 + a12 x2 + ... + a1nxn = b1 a21 x1 + a22 x2 + ... + a2nxn = b2 ... an1 x1+ an2 x2 + ... + annxn = bn


  Aplicações: 


  Determinação do potencial elétrico em redes elétricas; 
  Cálculos de estruturas em construção civil; 
  Cálculo  da  razão  de  escoamento  num  sistema  hidráulico  com   derivações; 
  Previsão da concentração de reagentes sujeitos à reações químicas   simultâneas. 

Exemplo  

 Considere o circuito a seguir com resistências e baterias  tal como indicado. 
  Escolhemos arbitrariamente os senCdos das correntes  em cada malha: 

MoCvação  
A Lei de Kirchhoff estabelece que a soma  algébrica das diferenças de potencial em  qualquer circuito fechado é zero. 
  Aplicando no exemplo anterior, obtemos para as correntes  i1, i2, i3, o seguinte sistema linear: 


 Deseja‐se determinar o valor de i = (i1, i2, i3)t  que saCsfaça  o sistema acima. 

MoCvação  


  Em forma matricial: 


  Neste caso, existe solução, mas nem sempre é o caso. 

Linearidade  

Uma equação é linear se cada termo contém não mais  do que uma variável e cada variável aparece na primeira  potência. 

Sistemas lineares  

Um conjunto de n equações lineares com n variáveis  (incógnitas) é denominado de: 
 Sistemas de n equações lineares; ou 
  Sistema linear de ordem n  Uma solução para um sistema linear consiste em  determinar valores para as n variáveis que saCsfaçam  todas as equações simultaneamente.  

Exemplo  

  De modo geral, um sistema de n equações lineares  pode ser escrito como: 

Exemplo  

  Ou na forma matricial: 


  Ou simplesmente: 
Matriz dos coeficientes Vetor solução Vetor de termosindependentes

Classificação de um Sistema Linear  


  Sistema possível ou consistente: pelo menos uma  solução 

  Determinado: apenas uma solução 
  Indeterminado: mais de uma solução 


  Sistema impossível ou inconsistente: nenhuma solução 

Exemplos  

possível e determinado

possível e indeterminado

impossível

Exercício  Classificar os seguintes sistemas lineares: 

Sistemas possíveis e indeterminados  

  Qual a caracterísCca de um sistema indeterminado ? 
x+y=6 2x + 2y = 12


  A linha 2 é igual à linha 1 mulCplicada por um escalar. 
  Caso geral: 

  Uma linha é combinação linear de outras linhas. 
  A matriz A é singular: det(A)=0. 

Sistemas impossíveis  

  Qual a caracterísCca de um sistema impossível? 
x+y x+y =6 =4  A linha 2 (coeficientes) é igual à linha 1 mulCplicada por  um escalar, enquanto o coeficiente b2 é igual a b1  mulCplicado por um outro escalar. 
  Caso geral: 

  Uma linha (coeficientes) é combinação linear de outras  linhas, mas a combinação diverge para o vetor b. 
  A matriz A é singular: det(A)=0. 

Sistemas possíveis e determinados  

  CaracterísCcas: A matriz A é não‐singular: inversível e det(A) ≠ 0. 
  Na forma matricial:   

 

A x = b   x = A‐1 b 
 

O nosso objeCvo nesta disciplina é desenvolver métodos  numéricos para resolver sistemas lineares de ordem n  que tenham solução única. 

Operações elementares  

  Ao mulCplicarmos o sistema Ax=b por uma matriz W  inversível, a solução x não é modificada. ...
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