Sistemas lineares

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SISTEMAS LINEARES
SISTEMAS LINEARES
( 1ª AULA)

Prof. Ademilso Lira

Motivação
Equilibrar uma equação química
KMnO + H2SO4 + NaNO2

K2SO4 + MnSO4 + NaNO3 + H2O

SISTEMAS LINEARES
x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

O químico faz “abracadabra” e

( 1ª AULA)
xi = [ 0,6667 1,000 1,6667 -0,3333

0,6667

1,6667

Como os resultados devem ser inteiros, multiplica-se por 3xi = [ 2 3 5 1 2 9 3 ]

1]

Motivação
Pesquisa Operacional
Em uma certa seção do centro de determinada cidade, dois conjuntos de
ruas de mão única se cruzam. Veja figura. Os dados nas setas representam o
número médio de carros que passam por hora. Ache a quantidade de
veículos nos cruzamentos A, B, C e D. (localizar estes pontos na figura)

SISTEMAS LINEARES
Representação algébrica:x1 + 450 = x2 + 610

( 1ª AULA)

x2 + 520 = x3 + 480
x3 + 390 = x4 + 600
x4 + 640 = x1 + 310

Representação matricial:

Equação linear
Equação linear é toda equação da forma:
a11x1 + a12x2+ a13x3 + ... + a1nxn = b1

SISTEMAS LINEARES
Onde a11, a12, a13, ... , a1n são números reais, que

( 1ª AULA)

recebem o nome de coeficientes das incógnitas;
x1, x2, x3, ... , xn, são asincógnitas;
b1 é um número real chamado termo independente
(quando b=0, a equação recebe o nome de linear
homogênea).
Ex.: 2x1 - 3x2+ 7x3 + x4 = -5

Solução de uma equação linear
Uma seqüência de números reais (r1, r2, r3,...,rn) é
solução da equação linear,
a11x1 + a12x2+ a13x3 + ... + a1nxn = b1

SISTEMAS LINEARES
( 1ª AULA)

Se ao substituirmos cada xi por ri na equação o
membro daesquerda for identicamente igual ao
membro da direita, isto é:
a11r1 + a12r2+ a13r3 + ... + a1nrn = b1
Ex.: 3x + 2y - z = 5, uma solução para esta equação
linear é (2, 0, 1), pois, 3.2 + 2.0 - 1 = 5

SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES (SEL)
Um sistema de equações lineares de ordem mxn é um
conjunto de m equações lineares, cada uma delas com
n incógnitas que devem satisfeitas simultaneamente.SISTEMAS LINEARES








( 1ª AULA)

(2)

SOLUÇÃO DE UM SEL
A n-upla (r1, r2, r3,...,rn) se diz solução de (2) se for
solução de cada uma das equações de (2).
Ex.: A dupla ordenada (1,1) é solução do sistema de
equações lineares,

 2x + y = 3
pois,

 x − 3 y = −2

 2 .1 + 1 = 3

1 − 3 .1 = − 2

Classificação de um sistema
quanto ao número de soluçõesSPD: sistema possível e determinado (solução única)
SPI: sistema possível e indeterminado (infinitas
soluções)
SI: sistema impossível ou incompatível (não tem
solução)

SISTEMAS LINEARES
( 1ª AULA)

SISTEMA HOMOGÊNEO
Se em (2) tivermos, b1= b2 = b3 =.....= bm = 0, o
sistema se diz homogêneo.
Obs.: Todo sistema homogêneo admite a solução trivial, ou
seja, (0, 0, 0, ...0). Assim umsistema homogêneo jamais
será impossível.

Ex.: O sistema de equações abaixo é dito
homogêneo, pois, os termos independentes são
todos iguais a zero.

2 x + y − z = 0

4 x + y + 3 z = 0
− x + 5 y − 4 z = 0


SISTEMAS LINEARES

( a tripla (0, 0, 0), que é chamada
1ª AULA)
Observem que,
de solução trivial, satisfaz o conjunto de equações
do sistema, pois,

2.0 + 0 − 0 = 0
4.0 + 0 + 3.0 = 0
− 0 + 5.0 − 4.0 = 0


Interpretação gráfica de um
SEL
Em um sistema de duas equações e duas incógnitas
(cada equação representa uma reta), temos três
possibilidades de posição relativas entre elas, assim
graficamente temos:
SPD: solução única. As retas são concorrentes, a
solução é o ponto onde as retas se cruzam.

SISTEMAS LINEARES
4

( 1ª AULA)

3

2 x +y = 3

 x − 3 y = −2

2

1

-0.5

0.5

-1

-2

Solução única

1

1.5

2

2.5

Interpretação gráfica de um
SEL
SPI: infinitas soluções. As retas são coincidentes, todos os
pontos sobre a reta são soluções do sistema.

SISTEMAS LINEARES
2 x + y = 3
y
6

( 1ª AULA)
4


4 x + 2 y = 6

2

-2

-1

1

2

-2

Infinitas soluções
-4

-6...
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