Sistemas algebra linear

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1. SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES


1.1 EQUAÇOES LINEARES
1.1.1 DEFINIÇÃO: Chamamos de equação linear, nas incógnitas x1, x2, ..., xn toda equação do tipo [pic], onde [pic]são os coeficientes (reais ou complexos) e b é o termo independente da equação. Exemplos:
1) 2x1 – 6x2 + 4x3 = 2
2) -3x + 4y – 5z + w/4 = 8

2.1.2 SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR
Dizemos que a seqüência ou n-uplaordenada [pic] é uma solução da equação linear [pic], se [pic] for uma sentença verdadeira. Exemplo:
Seja a equação linear x1 + 2x2 + x3 – x4 = -1. A seqüência (1, 0, 3, 5) é uma solução da equação, pois 1+2.0+3-5 = -1 é uma sentença verdadeira. Por outro lado, a seqüência (1, 3, 0, 1) não é solução, pois 1+2.3+0-1 = -1 é uma sentença falsa.

2.2 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES
Um sistema de equaçõeslineares com m equações e n incógnitas é um conjunto de equações do tipo: [pic], onde os coeficientes aij, 1 ( i ( m e 1 ( j ( n, são números reais (ou complexos).
Exemplo: [pic].
OBS.: 1) se no sistema (*) m = n, diremos simplesmente que o sistema é linear de ordem n;
2) Se os termos independentes bi, 1 ( i ( m, forem todos nulos, o sistema (*) recebe o nome de sistema linear homogêneo.Assim, um sistema linear homogêneo é um sistema do tipo: [pic].

2.2.1 SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR
Dizemos que uma n-upla de números [pic] é uma solução do sistema (*) se for solução de cada uma das m equações deste sistema.
Exemplo: Dado o sistema [pic], uma solução de S é (0, 3, 4). Notaremos que essa solução não é única: a terna (8/5, 11/5, 0) também é uma solução de S.
OBS.: No sistemalinear homogêneo, a n-upla (0, 0, 0, ..., 0) é sempre uma solução do mesmo. Assim, um sistema homogêneo tem sempre pelo menos uma solução.


2.3 CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR QUANTO AO NÚMERO DE SOLUÇÕES
Um sistema linear do tipo (*) recebe o nome de:
i) possível (ou compatível) e determinado, se apresenta única solução;
ii) possível e indeterminado, se possui mais de uma solução;
iii)impossível (ou incompatível), se não admite solução.
Exemplos: 1) O sistema [pic] é possível e indeterminado.
2) O sistema [pic] é impossível.
3) O sistema [pic] é possível e determinado.

2.4 SISTEMAS EQUIVALENTES
Dois sistemas S1 e S2 do tipo (*) são chamados equivalentes (S1 ~ S2) se possuem a(s) mesma(s) solução(ões). Exemplo: Sejam [pic] e [pic], a terna (1, 2, -3) é solução única deS1 e também de S2.
Logo, S1 e S2 são sistemas equivalentes.

2.5 SISTEMAS E MATRIZES
Um sistema do tipo (*) pode ser escrito numa forma matricial da seguinte maneira: [pic] ou seja, AX=B, onde A é a matriz dos coeficientes, x é a matriz das incógnitas e B é a matriz dos termos independentes.
OBS.: Uma outra matriz que podemos associar ao sistema (*) é [pic], chamada matriz ampliada dosistema (*). Exemplo: No sistema [pic] temos a forma matricial: [pic], e a matriz ampliada é [pic].

2.6 OPERAÇÕES ELEMENTARES SOBRE AS LINHAS DE UMA MATRIZ
São três as operações elementares sobre as linhas de uma matriz:
i) Permuta das i-ésima e j-ésima linhas (Li (Lj). Exemplo: L1( L2: [pic]
ii) Multiplicação da i-ésima linha por um escalar não nulo ((Li ( (Li). Exemplo: L2 ( 2L2: [pic]
iii)substituição da i-ésima linha pela i-ésima mais ( vezes a j-iésima linha (Li ( Li + (Lj). Exemplo: L3(L3 + +3L2: [pic].

2.7 MATRIZES EQUIVALENTES
2.7.1 Definição: Dadas as matrizes A, B ( Mmxn dizemos que a matriz B é linha equivalente da matriz A, se B for obtida da matriz A mediante um número finito de operações elementares sobre as linhas de A. Indicações: A ~ B. Exemplo: [pic] fazendo L2 ((-2)L1 + L2 temos [pic].
TEOREMA: Dois sistemas lineares do tipo (*) com matrizes ampliadas equivalentes são equivalentes.
Exemplos: 1) [pic]
2) Seja [pic]. Se At = A, então x = ?

2.8 FORMA ESCALONADA E FORMA ESCADA DE UMA MATRIZ
2.8.1 FORMA ESCALONADA
Diz-se que uma matriz A = [aij]mxn está na forma escalonada se o número de zeros precedentes do 1º elemento não nulo de uma linha,...
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